SEARA DA CIÊNCIA
    MATEMÁTICA
    CALCULANDO A RAIZ DE UM NÚMERO

INTRODUÇÃO

Como calcular a raiz de um número qualquer?

Perguntas como essa chegam com muita freqüência na seção Queremos Saber de Matemática. É provável que a pergunta se refira a um método analítico, isto é, pede uma fórmula única para achar uma raiz qualquer. Infelizmente, essa fórmula geral não existe a não ser para casos especiais.

Mas, é sempre possível calcular numericamente uma raiz do tipo , onde k e a são dois números reais quaisquer.

Inicialmente, vamos descrever um algoritmo desenvolvido por matemáticos sumérios, há 4000 mil anos, para o calculo de . Em seguida, vamos generalizar o método para o cálculo da raiz de qualquer ordem k, de qualquer número a, onde k = 2,3,4... , e a é um número real positivo.

Para isso, nessa pequena nota aplicaremos o método de Newton para o cálculo de qualquer raiz de um número real positivo, sendo esse o exemplo de um processo de retroalimentação, descrito a seguir.

Imagine uma máquina que processe números, como um computador. No caso que nos interessa, uma máquina desse tipo é caracterizada por uma fórmula que pode ser iterada, xn+1 = f(xn ), onde f(xn ) pode ser qualquer função de x. A máquina é alimentada por um número na entrada, processa esse número e fornece um número na saída, resultado das operações definidas por f(xn ). O número na saída depende somente do número da entrada. Na figura 1 mostramos um esquema de uma máquina que usa um processo de retroalimentação.

Esse tipo de máquina é uma ferramenta matemática de muita utilidade e é usada para solucionar problemas complexos. Há uma tradição de milhares de anos no uso dessas máquinas em matemática.

O exemplo que discutiremos em seguida é o algoritmo criado por matemáticos sumérios e que funciona segundo o processo descrito acima.


Como os sumérios calculavam a raiz quadrada de 2.

Calculando uma raiz qualquer pelo método de Newton.