SEARA DA CIÊNCIA
CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Bassalo


O Potencial Vetor de Maxwell e sua Interpretação

O Potencial Vetor de Maxwell e sua Interpretação.

 

As primeiras idéias sobre o potencial vetor  foram apresentadas pelo físico alemão Franz  Ernst Neumann (1798-1895), em 1845 (Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, aus dem Jahre, p. 1) e 1847 (Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, aus dem Jahre, p. 1), quando analisou o processo de indução magnética [descoberta, em trabalhos independentes, pelo físico e químico inglês Michael Faraday (1791-1867), em 1831, e pelo físico norte-americano Joseph Henry (1797-1878), em 1832] em um circuito devido ao movimento relativo de magnetos ou circuitos próximos. Muito embora Neumann não haja definido o potencial vetor diretamente da expressão que calculou para representar a força entre dois circuitos (), infere-se que, na linguagem atual, o potencial vetor de Neumann  é  representado por: ,    onde  representa a corrente elétrica que circula em um circuito  ,  indica a distância de um elemento de circuito  de  a um elemento  do circuito , é o versor que indica o sentido de circulação de , e  é a velocidade da luz no vácuo [John David Jackson e Lev Borisovich Okun, Lawrence Berkeley National Laboratory. LBNL – 47066 (2000)].

                       Independentemente de Neumann e quase ao mesmo tempo, o físico alemão Wilhelm Eduard Weber (1804-1891) iniciou, em 1846, suas famosas publicações Elektrodynamische Maasbestimmungen (``Medidas Eletrodinâmicas’’), concluídas em 1878, e compostas de sete longos trabalhos. Na primeira dessas publicações, Weber formulou a sua famosa lei da força entre cargas elétricas em movimento, dada pela expressão: , onde  e  representam, respectivamente, a velocidade e a aceleração radiais relativas entre as cargas  e , e  é uma constante que expressa a relação entre as unidades eletrostática e eletrodinâmica da carga elétrica. Registre-se que, mais tarde, o físico escocês James Clerk Maxwell (1831-1879) mostraria que essa constante  representaria vezes a velocidade da luz no vácuo. Na expressão indicada acima, o termo dominante  representa a força de Coulomb [obtida, em 1785, pelo físico francês Charles Augustin Coulomb (1736-1806)], e os demais termos modificam essa força à medida que as cargas elétricas apresentam um movimento relativo.

                       Desse modo, usando a expressão que havia deduzido e indicada acima, Weber passou a estudar  a força entre dois circuitos (). No entanto, ele adotou a hipótese de que a ``corrente elétrica’’ () em um circuito era devido a igual número de cargas de mesmo sinal que se movem com a mesma velocidade, porém em sentidos contrários. Essa hipótese, contudo, divergia da hipótese em vigor que considerava aquela corrente como devida ao fluxo de dois fluidos elétricos (vide verbete nesta série).  Como Neumann, Weber também não definiu o potencial vetor diretamente. No entanto, da análise que fez, em 1848 (Annalen der Physik und Chemie 73, p. 193), sobre dois circuitos sem movimento relativo, pode-se escrever que, na linguagem atual, o potencial vetor de Weber  é traduzido por:  (Jackson e Okun, op. cit.), onde as letras indicadas têm o mesmo significado da expressão obtida por Neumann. Registre-se que um estudo moderno da Eletrodinâmica de Weber foi apresentado pelo físico brasileiro André Koch Torres (n.1962) no livro intitulado Weber’s Electrodynamics (Kluwer, Holanda, 1994) e traduzido pela UNICAMP, em 1995.

                       Conforme salientamos acima, o potencial vetor  não foi explicitamente apresentado nem por Neumann nem por Weber, e sim, somente pelo físico alemão Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), em 1857 (Annalen der Physik und Chemie 102, p. 529), ao estudar a propagação de um distúrbio elétrico ao longo de um condutor perfeito. Desse modo, ele foi o primeiro a escrever explicitamente a expressão de em forma de componentes. Além do mais, ele também afirmou que as componentes da densidade de corrente induzida () poderiam ser obtidas como a condutividade () multiplicada pela soma negativa do gradiente do potencial escalar elétrico () e a derivada temporal do potencial vetor (). Na linguagem moderna, essa afirmação é representada pela seguinte expressão: , expressão essa que traduz a famosa lei de Ohm, em razão das experiências realizadas pelo físico alemão Georg Simon Ohm (1787-1854), de janeiro a dezembro de 1825. Registre-se que Kirchhoff atribuiu o segundo termo dessa expressão a Weber (Jackson e Okun, op. cit.).

                       Em seu trabalho, Kirchhoff generalizou a forma do potencial vetor obtida por  Weber (), bem como encontrou uma relação entre os potenciais  e . Em linguagem atual, esses resultados obtidos por Kirchhoff têm os seguintes aspectos (Jackson e Okun, op. cit.):

 

                                 .                         

 

                       A idéia de potencial vetor voltou a ser objeto de estudo nas pesquisas realizadas por Maxwell sobre as linhas de força de Faraday [conceito apresentado pelo físico e químico inglês Michael Faraday (1791-1867), em 1845] e os processos eletromagnéticos gerais. Desse modo, entre 1861 e 1862, Maxwell analisou a existência de tensões e vibrações no éter (meio que ocupa o espaço vazio entre os corpos do Universo), associadas àquelas ``linhas de força’’ e relativas ao campo magnético. Ao estudar as leis da Dinâmica dessas tensões e vibrações, intuiu que: A luz consiste nas ondulações transversais do mesmo meio ambiente que é a causa dos fenômenos elétricos e magnéticos.

                       Mais tarde, em 1865 (Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, p. 459; Philosophical Magazine 29, p. 152), Maxwell publicou o resultado de suas pesquisas relacionadas com o caráter eletromagnético da luz. Nessas pesquisas, demonstrou que um distúrbio eletromagnético em um meio uniforme se propagava como se fosse uma onda caracterizada pela seguinte equação [na linguagem dos quatérnios hamiltonianos (vide verbete nesta série) e atualizada]:

 

,

 

onde  é a permeabilidade magnética,  é a capacidade indutiva específica,  é a condutividade específica,  é o potencial elétrico, e , com representando as componentes do potencial vetor , introduzido pelo próprio Maxwell que, por sinal, denotava-o por , conforme se pode ver em seu famoso livro intitulado A Treatise on Electricity & Magnetism (Dover, 1954).

                       Obtida a equação acima, Maxwell demonstrou que quando o meio é não condutor (), a função é no máximo uma função linear no tempo () podendo, também, ser constante ou nula. Desse modo, considerando que a função  é independente de , Maxwell obteve a equação:. Desse modo, examinando essa equação, Maxwell percebeu que ela já havia sido observada pelo matemático francês Siméon Denis Poisson (1781-1840), em 1818, ao estudar o movimento dos sólidos elásticos incompressíveis, e, também, havia sido aplicada à Teoria da Difração pelo matemático e físico inglês Sir George Gabriel Stokes (1819-1903), em 1849. Portanto, como a equação vista acima correspondia a uma equação de ondas, Maxwell percebeu que , onde representava a velocidade de propagação dos distúrbios eletromagnéticos no meio não-condutor considerado. Em seguida, usando os valores de  e  que haviam sido determinados experimentalmente por Weber e pelo físico alemão Rudolph Hermann Arndt Kohlrausch (1809-1858), em 1857, Maxwell obteve o seguinte valor para aquela velocidade: . Em vista desse resultado, e considerando que a velocidade da luz no vácuo era da ordem de , valor esse obtido pelo físico francês Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868), em 1850, Maxwell confirmou, por fim, a conjectura que havia feito em 1861-1862: A luz é uma onda eletromagnética.

                       Antes de continuarmos com o trabalho de Maxwell sobre os fenômenos eletromagnéticos-ópticos (principalmente com o conceito do potencial vetor, objeto principal deste artigo) que culminou com a publicação de seu Treatise, em 1873, vejamos a contribuição de outros cientistas sobre esse mesmo tema.

                       Em 1863 (Annalen der Physik und Chemie 18, p. 111; Philosophical Magazine 26, p. 81; 205) e, em 1867 (Annalen der Physik und Chemie 131, p. 243; Philosophical Magazine 34, p. 287), o físico dinamarquês Ludwig Valentin Lorenz (1829-1891) desenvolveu a Teoria Eletromagnética da Luz (TEL) usando os conhecimentos básicos de sua época, como a Teoria Ondulatória da Luz formulada, em 1816 (Annales de Chimie et de Physique 1, p. 239), pelo físico francês Augustin Jean Fresnel (1788-1827). Em sua TEL, Lorenz generalizou os conceitos de potencial elétrico  e potencial vetor , apresentando-os na forma (em notação atual):

 

,        .

             

                       No artigo de 1867, depois de mostrar que todos os fatos conhecidos sobre eletricidade e magnetismo (nesse tempo todos quase-estáticos) são consistentes com os potenciais retardados definidos acima, Lorenz passou a deduzir as equações dos campos respectivos (elétrico e magnético), mais tarde obtidas por Maxwell – as famosas Equações de Maxwell (vide verbete nesta série) – e que eram equivalentes às que ele, Lorenz, havia obtido no artigo de 1863. Em seguida, ele discutiu a propagação da luz em metais, em dielétricos, no espaço livre, e na ausência de cargas livres no interior de condutores. Na dedução daquelas equações, Lorenz estabeleceu que os potenciais retardados são soluções de uma equação de onda, que satisfazem a condição: , onde  representa o potencial escalar elétrico () e  são os componentes do potencial vetor (). Em linguagem atual, a expressão acima é escrita na forma:. Aliás, é oportuno registrar que essa expressão só foi demonstrada pelo físico holandês Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928; PNF, 1902), em 1904 (Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften V14, p. 145), como decorrência de seu trabalho sobre a Teoria Eletromagnética Maxwelliana. Em vista disso, tal expressão passou a ser conhecida, erroneamente, como o ‘gauge’ de Lorentz. É oportuno registrar que esse erro foi primeiramente apontado por A. O’Rahilly no livro intitulado Electromagnetics (Longmans, Green and Cork University Press, 1938) (Jackson e Okun, op. cit.).      

                       A Teoria Eletromagnética também foi objeto de estudo por parte do fisiologista e físico alemão Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821-1894) em uma série de artigos escritos entre 1870 e 1874 [Journal für die reine und angewandte Mathematik 72, p. 57 (1870); 75, p. 35 (1873); 78, 273 (1874)]. Nesses artigos, ele analisou os potenciais vetor de Neumann () e de Weber (), e propôs a seguinte expressão generalizada (notação atual): = (com reproduzindo, respectivamente,  e ), e . Nesses trabalhos, Helmholtz demonstrou ainda que:, em que  representa o potencial eletrostático instantâneo. A expressão acima nos mostra que quando  obtém-se o mesmo resultado de Kirchhoff [vide expressão para ] e, formalmente, o mesmo resultado de Lorenz [vide expressão para ]. Contudo, enquanto Kirchhoff trata com potenciais quase-estáticos, Lorenz trabalha com potenciais retardados, pois temos  e

                       Agora, voltemos ao trabalho de Maxwell. Em seu Treatise, no qual ele apresentou suas célebres equações (vide verbete nesta série), a segunda delas representa o fato experimental de que as linhas de força do vetor indução magnética  são fechadas, isto é:  (na linguagem atual). Foi essa condição solenoidal que levou Maxwell a introduzir o potencial vetor , conforme registramos acima. Vejamos como. Em 1871, ele havia demonstrado que a ``convergência’’ (hoje, divergência - ) da ``rotação’’ (hoje, rotacional - ) de uma função vetorial () era nula, ou seja: . Assim, aplicando esse resultado a sua segunda equação, concluiu que (ainda, em notação atual): . Ainda em 1871, Maxwell demonstrou que a ``rotação’’ do gradiente de uma função escalar () era nula, ou seja: . Juntando os dois resultados, Maxwell apresentou em seu Treatise, a expressão conhecida hoje como transformação de `gauge, qual seja: , com a seguinte observação: A quantidade  desaparece quando se usa a equação [] e ela não se relaciona com qualquer fenômeno físico (Jackson e Okun, op. cit.).

                       Desse modo, Maxwell introduziu o potencial vetor apenas como um artifício matemático, sem apresentar uma expressão analítica para ele. Hoje, em qualquer livro texto que trata do assunto, mostra-se como se encontra essa expressão analítica a partir da definição de . Com efeito:

 

                 .                

 

É oportuno esclarecer que, diferentemente do potencial vetor (),  o potencial elétrico () apresenta uma interpretação física, qual seja: [José Maria Filardo Bassalo, Eletrodinâmica Clássica (Livraria da Física, 2007); John David Jackson, Classical Electrodynamics (John Wiley, 1998). 

                       Conforme vimos, Lorentz também trabalhou com a Teoria Eletromagnética (de Helmholtz e de Maxwell). Com efeito, em 1875, ele defendeu sua tese de doutoramento, intitulada Sobre a teoria da reflexão e da refração da luz, na Universidade de Leiden, obtendo o grau summa cum laude. A partir de 1892, Lorentz começou a desenvolver sua famosa Teoria dos Elétrons (vide verbete nesta série), com um trabalho no qual mostrou que a solução da equação de onda não-homogênea (em notação atual):, depende da posição da fonte em um instante anterior , ou seja: . Aliás, esse resultado já havia sido demonstrado pelo matemático alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), em 1858, e por Lorenz, em 1861.

                       Usando o resultado acima, Lorentz encontrou as soluções retardadas dos potenciais escalar  e vetor , obtidas por Lorenz, em 1867, conforme registramos anteriormente, porém, tomando como a fonte , respectivamente,  e , conforme ele publicou no livro intitulado Versuch einer Theorie der Electrischen und Optischen Erscheinungen in begwegten Körpen (E. J. Brill, Leiden, 1895). Ainda nesse livro, Lorentz discutiu a arbitrariedade desses potenciais, afirmando que eles podem corresponder aos mesmos campos elétricos e  e magnéticos e , desde que satisfaçam as relações:  e , com  obedecendo a expressão: . Note-se que a arbitrariedade referida acima decorre das expressões que definem os campos elétrico [] e magnético (), o ‘gauge’ de Lorenz-Lorentz e a irrotacionalidade do gradiente, isto é: [Bassalo (2007), op. cit.; Jackson (1998), op, cit.].                                        

                       Apesar de todo o uso formal do potencial vetor , conforme visto acima, não existia uma interpretação física para ele. Foi o físico inglês Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984; PNF, 1933), em 1931, o primeiro a vislumbrar a importância física de  fazendo previsões sobre monopolos magnéticos (vide verbete nesta série), usando a Mecânica Quântica. Somente em 1959 (Physical Review 115, p. 485), os físicos, o israelense Yaki Aharonov e o norte-americano David Joseph Bohm (1917-1992) encontraram uma interpretação física de  por intermédio de um fenômeno quântico de interferência, conhecido desde então como efeito Aharonov-Bohm (vide verbete nesta série). Registre-se que, antes, em 1949 (Proceedings of the Physical Society of London 62, p. 8), W. Eherenberg e R. S. Siday já haviam discutido os efeitos dos potenciais eletromagnéticos na Mecânica Quântica.