SEARA DA CIÊNCIA
CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Bassalo


Condução Térmica nos Sólidos.

 

Em 1804 (Journal de Mines 17, p. 203), o físico francês Jean-Baptiste Biot (1774-1862), foi um dos primeiros a apresentar uma expressão matemática para estudar a condução do calor nas barras metálicas, ocasião em que fez a distinção entre condução interna e radiação externa. Sua expressão (representada pela equação diferencial: d2T – k T dx = 0, onde T é a temperatura, k a condutividade térmica, e x a posição), contudo, apresentava uma grande dificuldade, pois não levava em consideração o tempo (t), parâmetro fundamental para tratar a condução térmica.

                   Mais tarde, em 1807, o matemático francês Jean-Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) comunicou à Academia Francesa de Ciências (AFC) uma memória que continha uma expressão matemática para explicar a difusão do calor em corpos de formas especiais (retângulo, anel, esfera, cilindro e prisma), e que contornava a dificuldade da equação de Biot, pois sua expressão envolvia o tempo (t). Os examinadores desse trabalho de Fourier designados pela AFC, foram os matemáticos franceses Gaspard Monge (1746-1818), Sylvestre François Lacroix (1765-1843), Pierre Simon, Marquês de Laplace (1749-1827) e Joseph Louis, Conde de Lagrange (1736-1813); os três primeiros foram favoráveis à publicação, porém, Lagrange foi contra. O argumento usado por este famoso matemático foi o de simplesmente rejeitar a função apresentada por Fourier para expressar a condição inicial da temperatura (a hoje famosa série de Fourier):

 

f (x) = (1/2)  +

 

+ (1/) ,

 

 

por não acreditar que tais funções pudessem ser representadas por séries trigonométricas (seno e cosseno). Lagrange mantinha essa opinião desde a década de 1750, quando trabalhou no problema da corda vibrante. Em vista disso, em 1810, a AFC ofereceu um prêmio a quem resolvesse o problema da condução do calor.     

                Logo em 1811, Fourier preparou um trabalho para concorrer a esse prêmio. Nesse trabalho (uma versão revisada do de 1807), Fourier estudou a difusão do calor em corpos infinitos. No entanto, como nesses casos a periodicidade das séries de Fourier não era capaz de representar as condições iniciais do problema, Fourier substituiu-as por uma integral (mais tarde conhecida como integral de Fourier):

 

f(x) = (1/)  .

 

Nesse trabalho, as suas últimas seções foram dedicadas aos aspectos físicos do calor, principalmente o problema da intensidade de sua radiação. Ele ganhou o prêmio, porém, o júri – provavelmente por insistência de Lagrange – fez críticas quanto à sua “precisão e generalidade”, consideradas por Fourier como uma repreensão injustificada. [Jerome R. Ravetz and I. Grattan-Guinness, IN: Dictionary of Scientific Biography (Charles Scribner´s Sons, 1981).] É interessante destacar que somente em 1824, esse trabalho de Fourier foi então publicado nas Mémoires de l´Academie des Sciences de l´Institut de France (1819-1820).

                   Apesar dessa proposta, hoje inquestionável, ela não foi imediatamente aceita, tanto que, em 1815, Biot propôs uma nova equação para representar a perda de calor t por um corpo: t = a T + b T3, onde T é a diferença de temperatura entre o corpo quente e o ambiente que o envolve, e a e b são duas constantes. Em 1816, Biot mediu o fluxo de calor em barras metálicas. (M. P. Crosland, IN: Dictionary of Scientific Biography, op. cit.)  

                   Foi somente em 1822, que Fourier publicou seu famoso livro intitulado Théorie Analytique de la Chaleur, no qual demonstrou que a condução do calor em um sólido homogêneo e isotrópico satisfaz a seguinte equação diferencial (em notação atual): [ + (1/k) t]  = 0, onde  é o operador Laplaciano que, em coordenadas cartesianas, é igual a:  + + . Essa equação é hoje conhecida como equação da difusão ou equação de Fourier. É oportuno destacar que o trabalho de Fourier, exposto nesse livro, apresenta dois pioneiros aspectos históricos. Com efeito, pela primeira vez uma equação foi examinada sob o ponto de vista da consistência das unidades físicas das grandezas evolvidas nelas, podendo então Fourier ser considerado o iniciador da Análise Dimensional; e, também, pela primeira vez, um fenômeno físico foi estudado no âmbito matemático, o mais geral possível, por intermédio de uma equação diferencial parcial [Armand Gibert, Origens Históricas da Física Moderna (Fundação Calouste Gulbenkian, 1982)]. Esse livro de Fourier foi importante para estudar o comportamento dos condutores percorridos por uma corrente elétrica.