SEARA DA CIÊNCIA
CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Bassalo


Reflexão da Luz e Espelhos.

 

Parece haver sido o filósofo grego Aristóteles de Estagira (384-322) o primeiro a ter conhecimento da Lei da Reflexão da Luz - O ângulo de incidência (i) é igual ao ângulo de reflexão (r): i = r. Essa lei também foi objeto de estudo por parte do matemático grego Euclides de Alexandria (c.323-c.285). Com efeito, no tratado denominado Catóptrica, ele descreveu o comportamento de raios luminosos refletidos por espelhos planos, côncavos e convexos, usando algumas definições e 31 proposições. Ainda nesse tratado, ao admitir a trajetória retilínea do raio luminoso, e com seus conhecimentos geométricos (que os havia apresentado em seu famoso livro Elementos de Geometria), Euclides demonstrou corretamente a Lei da Reflexão da Luz, e mostrou que a mesma era válida para espelhos planos e esféricos. Registre-se que no tratado citado acima, Euclides descreveu a possibilidade de tornar visível a um observador, um anel colocado em um vaso transparente, bastando para tal derramar água no mesmo. [Carl B. Boyer, A History of Mathematics (John Wiley and Sons, 1968); Morris Kline, Mathemathical Thought from Ancient to Modern Times (Oxford University Press, 1972); Carlos Tomei, Euclides: A Conquista do Espaço Odysseus, 2003)].    

                   O matemático e inventor grego Arquimedes de Siracusa (287-212), em seu livro Catóptrica, estudou os espelhos que apresentavam a propriedade de concentrar, em determinados pontos, raios luminosos paralelos incidentes, como ocorre com os espelhos esféricos e os parabolóides de revolução, espelhos esses denominados de incandescentes ou ustórios. É interessante registrar que, segundo conta a lenda, Arquimedes construiu um espelho de cobre (Cu) em forma de parabolóide de revolução e o teria usado para incendiar os navios romanos que invadiram Siracusa, em 214 a. C., invasão essa comandada pelo general e cônsul romano Marcus Claudius Marcellus (c.268-c.208), por ocasião da Segunda Guerra Púnica (218-201), entre Roma e Cartago. Segundo o filósofo da ciência francês Pierre Thuillier (1927-1998), no livro De Arquimedes a Einstein: A face oculta da invenção científica (Jorge Zahar Editor, 1994), parece que um certo Proclus teria também utilizado espelhos ardentes para destruir a frota do general cita Vitalino, quando este cercou Constantinopla (atual Istanbul, na Turquia) em 514 d.C.  

                   É interessante ressaltar que sobre essa possível façanha “incendiária” de Arquimedes há muita controvérsia. Por exemplo, o filósofo e matemático francês René du Perron Descartes (1596-1650) em sua Dióptrica, publicado em 1637, afirma que para atear fogo, a grande distância, por intermédio de um espelho ardente, é necessário que ele tivesse um tamanho desmesurado. No entanto, a possibilidade de usar espelhos com a finalidade de atear fogo, foi confirmada pelo naturalista francês George Louis LeClerc, Conde  de Buffon (1707-1788), em 1747, ao construir um espelho formado por 168 vidros de pequeno tamanho e conseguir incendiar umas pranchas de madeira untadas com breu, distanciadas de 50 metros de seu dispositivo [José Babini, Arquimedes (Espasa-Calpe Argentina S. A., 1948)]. Em 1973, o engenheiro grego Ioannis Sakkas fez uma réplica da experiência “incendiária” de Arquimedes. Para isso, usou espelhos (de vidro) com superfícies e dimensões comparáveis às dos clássicos escudos dos soldados gregos (cerca de 1,70 m por 0,70 m) e recobriu-os com uma fina película de bronze não muito polida. Depois de preparar dessa forma 66 “escudos-espelhos”, deu-os a seus ajudantes, que, no Porto de Pireu, na Grécia, concentraram os raios solares sobre um modelo reduzido de galera, de 3,60 m de comprimento, que flutuava cerca de 50 m de distância. Em dois minutos o alvo incendiou-se de forma tão intensa e, também intensamente, continuou a se queimar. Para maiores detalhes sobre essa experiência “incendiária” de Arquimedes, ver: Thuillier, op. cit.

                   Os espelhos incandescentes também foram objeto de estudo por parte do matemático grego Apolônio de Perga (c.261-c.190) e do matemático grego Diocles (f.c. final do Século 2, a.C.), em livros que tinham o mesmo título: Espelhos Incandescentes. Apolônio também observou que os espelhos elipsoidais apresentavam a propriedade de que todos os raios luminosos emanados de um de seus focos refletem-se no foco conjugado. Observe-se que Apolônio foi um dos primeiros matemáticos a estudar de maneira sistemática as secções cônicas (elipse, parábola e hipérbole), em seu livro denominado Cônicas.

                   No começo da Era Cristã (d.C.), o matemático e inventor grego Heron de Alexandria (c.20 d.C.-  ? ) publicou o livro intitulado Catóptrica, no qual explicou a propagação retilínea da luz e formulou, com base na Lei da Reflexão da Luz, de Aristóteles e Euclides, o seguinte princípio: - É mínimo o trajeto descrito por um raio luminoso [A. d´Abro, The Rise of New Physics (Dover, 1952)]. Ainda nesse livro, Heron tratou de espelhos côncavos e convexos, bem como de sua associação. Parece ser ainda dele a observação de que se podem obter várias imagens de um objeto colocado entre dois espelhos planos formando um determinado ângulo. Apesar dessa observação, o caleidoscópio, que se baseia nesse princípio (formação de várias imagens), só foi inventado pelo físico irlandês Sir David Brewster (1781-1868), em 1816.

                   Os espelhos parabólicos e sua propriedade de incandescência foram também estudados pelos matemáticos gregos Pappus de Alexandria (c.260 d.C.-   ? ) e Anthemius de Tralles (c.474- c.534). Este, por sinal, como também era arquiteto, ajudou Isidoro de Mileto na construção da igrega de Santa Sophia, em Constantinopla, em 532.

                   A Lei da Reflexão da Luz de Aristóteles e Euclides recebeu uma importante contribuição por parte do físico e matemático iraquiano Abu-´Ali Al-Hasan ibn al-Haytham (al-Hazen) (c.965-1038). Com efeito, em seu livro intitulado Kitab Al-Manazer (“Tesouro da Óptica”), publicado por volta de 1038, usando argumentos geométricos, al-Hazen completou aquela Lei, afirmando: - O raio incidente, o raio refletido e a normal estão em um mesmo plano. Ele, também, nesse livro, redescobriu a “lei do trajeto mínimo da luz” descoberto por Heron. Ao estudar algumas propriedades dos espelhos esféricos e parabólicos, principalmente a determinação de seus focos, determinação essa conhecida como o problema de al-Hazen, descobriu a hoje famosa a aberração de esfericidade dos espelhos esféricos, isto é, a indefinição do foco de tais espelhos, quando um feixe de raios luminosos incidentes nos mesmos for de grande abertura angular. Observou ainda al-Hazen que isso não acontece nos espelhos parabólicos, uma vez que os raios luminosos incidentes são refletidos e focalizados em um mesmo ponto, independente da distância daqueles raios ao eixo do espelho. É oportuno registrar que, em virtude dessa propriedade, os espelhos parabólicos foram usados, antigamente, como incandescentes e hoje, nos farois de carro. Registre-se, também, que esse livro de al-Hazen foi usado pelo erudito inglês Robert Grosseteste (c.1175-1253) em suas experiências com a Óptica Geométrica. (Boyer, op. cit.).

                   Em 1558, o físico e filósofo italiano Giambatista Della Porta (c.1535-1615) publicou o livro intitulado Magia Naturalis (“Magia Natural”) (re-editado em 1589), no qual descreveu as experiências que realizou com espelhos esféricos, particularmente os côncavos, ocasião em que descobriu que o foco dos mesmos apresentava a propriedade de inverter a imagem, isto é, enquanto objetos colocados entre o foco e o espelho davam imagens virtuais (por trás do espelho) e diretas, as mesmas se tornariam reais (formadas na frente do espelho) e invertidas, quando os objetos fossem colocados além do foco. Isso o levou a denominar o foco de um espelho côncavo de ponto de inversão. Essas experiências levaram-no, também, à observação do efeito “incandescente” de raios solares incidindo nesse tipo de espelho. [A. Kistner, Historia de la Física (Editorial Labor, 1934).]

                   Em 1567, o matemático e astrônomo italiano, o Abade Francesco Maurolycus (1494-1575), escreveu o texto Photismi de Lumine et Umbra ad Perspectivam et Radiorum Incidentiam Facientes, no qual tratou de suas experiências sobre a Óptica Geométrica (p.e.: projeção de sombras e reflexão da luz). Ao trabalhar com espelhos esféricos, ele descobriu a cáutiscauma superfície (ou envelope) envolvendo raios refletidos. Note-se que, em 1694, o matemático suíço James (Jakob, Jacques) Bernouilli (1654-1705) demonstrou que a cáustica (de reflexão e de refração), tem a forma de uma espiral logarítmica.

                   No início do Século 18, a reflexão da luz foi tratada pelo físico e matemático inglês Sir Isaac Newton (1642-1727), em seu tratado intitulado Optics, or a Treatise of the Reflexions, Refractions, Inflexions and Colours of Light (“Óptica, ou um Tratado das Reflexões, Refrações, Inflexões e Cores da Luz”), publicado em 1704. Usando a hipótese newtoniana de que a luz era uma partícula, a Lei da Reflexão da Luz é facilmente demonstrada usando a teoria de choque de partículas e a Lei de al-Hazen. É oportuno salientar que essa teoria havia sido intuída pelo artista, inventor e cientista italiano Leonardo da Vinci (1452-1519) ao afirmar que: - Existe uma igualdade entre os ângulos de incidência e de reflexão no choque de um corpo contra uma parede rígida.

                   O estudo quantitativo da reflexão da luz foi apresentado pelo físico e matemático alemão John Karl Friedrich Gauss (1777-1855), em seu clássico texto Reports on the Teaching of Geometrical Optics (“Informações sobre o Ensino da Óptica Geométrica”), publicado em 1841, no qual expôs o conceito de distância focal (f) e desenvolveu fórmulas para o cálculo da posição e do tamanho de imagens formadas por espelhos (e, também, para lentes delgadas) com determinados f. Em notação atual, seguem as chamadas Equações de Gauss (válidas apenas para raios paraxiais – próximos do eixo do espelho): 1/f = 2/r = 1/p + 1/p´ (Equação dos Focos Conjugados); e  m = I/O = p´/p (Equação da Amplificação), onde p e p´ representam, respectivamente, as distâncias do objeto (de altura O) e de sua imagem (de altura I); r é o raio de curvatura do espelho. Essas grandezas ópticas são convencionadas da seguinte maneira. Distância focal (f): valor positivo (+) para os espelhos côncavos e valor negativo (-) para os espelhos convexos; Distância objeto (p): (+) para os objetos reais (colocados na frente do espelho) e (-) para os objetos virtuais (colocados atrás dos espelhos); Distância imagem (p´): (+) para as imagens reais (formadas na frente do espelho) e (-) para as imagens virtuais (formadas atrás dos espelhos); a Imagem é invertida, quando p e p´ têm o mesmo sinal, e direta, quando os sinais são contrários. É oportuno destacar que, para o caso os espelhos planos (r = ), as Equações de Gauss são escritas na forma: p = - p´  e  m = - 1, ou seja, a imagem de um objeto real é sempre virtual e direta. [John Strong, Concepts of Classical Optics (W. H. Freeman and Company, 1958)]. 

                   É interessante ressaltar que os espelhos, principalmente os planos, são usados em truques de mágica ilusionista. Um dos mais famosos desses truques foi o usado para fazer desaparecer um elefante dentro de uma jaula. Com finos, longos e verticais espelhos planos colocados atrás das barras e ligados a um mecanismo adredemente preparado, o mágico canadense Doug Henning (Douglas James Henning) (1947-2000), em seu programa de televisão na NBC, o Doug Henning´s World of Magic (iniciado em dezembro de 1975), fazia um elefante desaparecer e aparecer fora da jaula, ao girar o seu mecanismo de um ângulo de 450. [Michio Kaku, Physics of the Impossible (Anchor Books, 2008); pt.wkipedia.org/wiki/Doug_Henning (acesso em 13/07/2009)].