CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Filardo Bassalo
www.bassalo.com.br

Leibniz e os Primórdios do Formalismo do Cálculo Diferencial e Integral.

 

Em 1637, o matemático francês Pierre Fermat (1601-1665) publicou o artigo intitulado Methodus ad Disquerendam Maximam et Minimam (“Método de Encontrar Máximos e Mínimos”), no qual apresentou um método para traçar tangente a uma dada curva. Hoje, o âmago desse método resume-se no seguinte: mudar a variável x na função f(x) (que representa a curva dada) para x + E (com E muito pequeno); considerar f(x) estacionário próximo de seu máximo ou de seu mínimo, o que significa dizer que f(x + E) - f(x) vai mais rápido a zero do que E; fazer E  0. Então, para obter o ponto em que a curva passa por um máximo ou por um mínimo, basta igualar o resultado anterior a zero. Resumindo-se, temos:

 

f’ (x) = limE  0  = 0.

 

Desse modo, para Fermat, f’ (x) significava a tangente à curva representada por f(x). É oportuno registrar que, em virtude desse método, o matemático francês Pierre Simon, Marquês de Laplace (1749-1827) considerava Fermat o inventor do Cálculo Diferencial.

                   Por outro lado, em 1675, o matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), começou a escrever seus célebres manuscritos (datados de 25, 26 e 29 de outubro e 11 de novembro) que contribuíram para o desenvolvimento do hoje famoso Cálculo Diferencial e Integral. Assim, nos manuscritos de 25 e 26 de outubro, iniciou seus estudos sobre o cálculo de áreas, usando o método introduzido pelo matemático italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647), que consistia em comparar os indivisíveis de uma figura com os de uma outra. Então, ele adicionava esses indivisíveis, usando a expressão “omnes lineae” (o.) (“todas as linhas”). [D. J. Struik (Editor), A Source Book in Mathematics, 1200-1800 (Harvard University Press, 1969)].  Leibniz, contudo, abreviou essa notação para “omn.”, e a mesma indicava a área de uma curva cujas ordenadas são . No manuscrito de 29 de outubro, inicialmente Leibniz apresentou a regra de integração por partes:

 

omn. x    x omn.  - omn. omn. ,

 

onde o símbolo indicava igualdade (=), símbolo este que já havia sido proposto pela matemático inglês Robert Recorde (1510-1558), em seu livro Whestone of Witte, de 1557. Com a regra relatada acima, Leibniz demonstrou que:

 

omn. x2 x3/3.

 

                   No entanto, ainda no manuscrito de 29 de outubro, Leibniz decidiu, repentinamente [Margareth E. Baron e H. J. M. Bos, Origens e Desenvolvimento do Cálculo 3 (EDUnB, 1985)], substituir omn. pelo símbolo , que é o S estilizado do calígrafo, que significa Suma (“Soma”). Ainda nesse manuscrito, Leibniz encontrou regras para operar com , ou seja:

 

a = a  (a = constante)      e       (y + z) = y  + z,

 

bem como introduziu o símbolo d para denotar a diferenciação como operação inversa de tomar a “quadratura” (hoje, integral); porém, esse símbolo atuava como um denominador, conforme se pode ver, segundo Leibniz escreveu nesse manuscrito:

 

Suponha que    y a . Seja    y a/d, então assim como  aumenta, d diminui as dimensões.

 

                   No manuscrito de 11 de novembro [Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Oxford University Press, 1973)], Leibniz observou que nem aumenta a dimensão, e nem d diminui, e que, realmente,  significa uma soma e d uma diferença.  A partir daí passou a usar d y, e começou a procurar regras para o símbolo d, pois estava convencido de que:

 

d (u v)  du . dv       e       d (u/v)  du / dv.

 

                   Em 1676, Leibniz escreveu dois manuscritos (julho e novembro) nos quais tratou de como traçar tangentes em curvas, assim como obteve as primeiras regras de derivação e de integração. Com efeito, no de junho, ele demonstrou que a melhor maneira de se encontrar tangentes a curvas [representadas por funções do tipo: y = f(x), em notação atual] é obter a relação dy/dx, onde dy e dx são diferenças e a dita relação é um quociente. Para chegar a esse resultado, Leibniz considerou (sem nenhuma explicação) que o produto dessas diferenças ou potências mais altas delas deveriam ser desprezadas. No manuscrito de novembro, Leibniz encontrou as seguintes regras gerais:

 

dxn = n xn-1 dx;  xn = xn + 1/(n + 1),

 

com n inteiro ou fracionário, assim como obteve a regra da cadeia:

 

Para diferenciar a expressão , façamos  = x, diferenciemos  e multipliquemos o resultado por dx/dz.

 

Essa regra, hoje, significa que, dado y [x(z)], então: dy/dz = (dy/dx) (dx/dz).

                   Em um manuscrito de 11 de julho de 1677, Leibniz apresentou as regras corretas para obter a diferencial da soma, do produto e do quociente entre duas funções (em notação atual) [u (x), v (x)], porém, sem demonstrá-las. Essas regras são:

 

d (u + v) = du + dv;          d(uv) = udv + vdu;          d(u/v) = (vduudv)/v2.

 

                        Em 1680, Leibniz atribui para dx e dy os significados respectivos, de diferenças de abcissas e de ordenadas, sendo que para dy nomeou especificamente de diferença momentânea. Ainda nesse mesmo ano, Leibniz mostrou que para se obter a área (A) sob uma curva bastaria somar retângulos de altura y e de base dx: A = y dx; apresentou a fórmula para calcular um elemento de arco ds, ou seja: ds2 = dx2 + dy2; assim como o volume (V) de um sólido gerado pela revolução de uma curva em torno do eixo dos x: V =  y2 dx.

                   Em 1684 (Acta Eruditorum Lipsiensium 3, p. 467) Leibniz publicou o artigo intitulado Nova Methodus pro Maximis et Minimis itemque Tangentibus quae nec Fractas nec Irrationales Quantitates Moratur et Singulare pro illis Calculi genus (“Um Novo Método para Máximos e Mínimos assim como para Tangentes não Impedido por Quantidades nem Fracionais nem Irracionais e um Importante tipo de Cálculo para elas”). Nesse artigo, Leibniz usou pela primeira vez a palavra transcendental no sentido de não-algébrico, assim como introduziu a expressão Calculus Differentialis (“Cálculo Diferencial”). Também nesse artigo ele deduziu as regras de operação de d, regras essas que ele havia somente apresentado em 1677. Por exemplo, para a regra da diferencial do produto de duas funções ele fez a seguinte demonstração (desprezando diferenças de segunda ordem):

 

d(uv) = (u + du) (v + dv) – uv = udv + vdu + du.dv  udv + vdu.

 

Ainda nesse artigo, Leibniz fez aplicações de seu método ao demonstrar como se calculam tangentes, máximos e mínimos (dv = 0), concavidade e convexidade, e pontos de inflexão (d dv = 0), para diversas curvas.

                   Em 1686 (Acta Eruditorum Lipsiensium 5, p. 292), Leibniz apresentou a sua famosa Regra de Leibniz para calcular a derivada n-ésima de um produto de duas funções [u(x), v(x)]. Na linguagem atual, temos (os expoentes entre parêntesis indicam as ordens de derivação):

 

(uv)(n) = u(n) v(0) + nu(n-1) v(1) + [n(n-1)/2!] u(n-2) v(2) + ... + nu(1) v(n-1) + u(0) v(n)

 

 .

 

                   Em 1691, Leibniz escreveu uma carta para o físico holandês Christiaan Huygens (1629-1695) na qual indicou uma maneira de resolver equações diferenciais do tipo:

 

y (dx/dy) = f (x) g (y),

 

usando uma técnica que, mais tarde, ficou conhecida como separação de variáveis. Ele escreveu a equação acima na forma:

 

dx/f (x) = g (y) dy/y,

 

e depois realizou a integração de cada termo. Ainda nesse ano de 1691, Leibniz reduziu as equações diferenciais de primeira ordem do tipo y’ = f (y/x) a um simples problema de quadratura (mais tarde: integração), fazendo a seguinte substituição: y = v x.

                   É interessante chamar a atenção para o fato de que Leibniz também introduziu os símbolos ~ : “similar a” e : “congruente a”, bem como as notações (.), para produto, (:) para divisão, para logaritmo decimal e dn, para a diferencial de ordem n. Em 1714, dois anos antes de morrer, Leibniz relatou no livro intitulado Historia e Origo Calculi Differentialis (“História e Origem do Cálculo Diferencial”) o desenvolvimento de seu próprio pensamento sobre o Cálculo. Nesse livro, Leibniz usou a palavra função para representar quantidades que dependem de uma variável. Contudo, o conceito atual de função bem como sua notação – f(x) – foram apresentados pelo físico e matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), em seu livro intitulado Introductio in Analysis Infinitorum (“Introdução à Análise do Infinito”), escrito em 1745.