CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Filardo Bassalo
www.bassalo.com.br

A Análise Dimensional e a Cor do Céu.

 

A importância da Análise Dimensional, ou seja, a coerência de unidades físicas em uma expressão analítica representando determinada situação física foi considerada pelo matemático francês Jean-Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830), em seu importante livro intitulado Théorie Analytique de la Chaleur (“Teoria Analítica do Calor”), publicado em 1822, no qual estudou a condução do calor em um sólido homogêneo e isotrópico, por intermédio de uma equação diferencial, conhecida hoje como equação de Fourier. Neste livro, pela primeira vez, uma equação foi examinada sob o ponto de vista da consistência das unidades físicas das grandezas envolvidas nelas. Assim, Fourier pode ser considerado o fundador da Análise Dimensional. [Ver a Seção IX do livro citado acima, em sua versão inglesa: Jean-Baptiste-Joseph Fourier, Analytical Theory of Heat, IN: Great Books of the Western World 45 (Encyclopaedia Britannica, Inc./Chicago, 1971)].  

                   A dimensionalidade de uma variável física não é a mesma que a unidade pela qual ela é representada. Por dimensionalidade, descrevemos como uma variável é constituída em termos de suas dimensões básicas: comprimento (L), massa (M) e tempo (T). Por exemplo, a força (massa x aceleração = massa  comprimento  tempo-2) é representada pela seguinte equação dimensional: F = L M T-2. A Análise Dimensional também permite verificar a dimensionalidade de uma dada equação física. Com efeito, vejamos se a equação da velocidade (comprimento  tempo-1) no movimento com aceleração (a) constante, representada por vf2 = vi2 + 2 a x, onde vf e vi significam, respectivamente, a velocidade final e a velocidade inicial, e x significa o espaço percorrido, está dimensionalmente correta. Usando o que vimos acima, temos:

 

(LT-1)2 = (LT-1)2 + 2 (LT-2) (L)      L2 = L2 + 2 L2,

 

ou seja: ambos os termos da equação envolvem (comprimento)2. Note que a AD só permite verificar a dimensionalidade, daí a razão pela qual a igualdade acima não valer algebricamente.

                   A Análise Dimensional (AD) também permite calcular a dimensionalidade de uma dada variável física. Por exemplo, queremos saber qual a expressão dimensional que representa a velocidade (v) de um pulso em um meio de densidade linear (massa/comprimento: ), sabendo-se que a mesma é proporcional à força aplicada (F) e a . Usando a técnica da AD, vista acima, temos [Clifford E. Swartz, Phenomenal Physics (John and Wiley and Sons, Inc., 1981)]:

 

v  Fa b   (LT-1) = (L1M0 T-1) = (L M T-2)a (ML-1)b = La-b Ma+b T-2a  

 

1 = a – b,   a + b = 0,   - 1 = - 2 a    a = ½  e  b= - ½   v  .

 

Note que, em Acústica, a expressão correta é: v = K , onde K é uma constante matemática.

                   O resultado acima nos mostra que a AD só permite verificar a dimensionalidade de uma expressão física, conforme destacamos acima. Contudo, ela foi útil para o físico inglês John William Strutt, Lord Rayleigh (1842-1919; PNF, 1904), em 1871 (Philosophical Magazine 41, p. 107), mostrar que a amplitude da luz solar (de frequência ) espalhada pela atmosfera terrestre é proporcional à 4 e, com isso, explicou a razão ser azul ( alto) o céu, e de ser vermelho ( baixo) o por e o nascer do Sol. [John Strong, Concepts of Classical Optics (W. H. Freeman and Company, 1958)].