CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Filardo Bassalo
www.bassalo.com.br

A Evolução do Conceito de Massa.

 

Desde a Antiguidade, massa (moles) e peso (pondus) de um corpo eram tomados quase como sinônimos, pois ainda não existia uma teoria de gravitação bem estabelecida, que permitisse fazer essa distinção. Havia, é claro, por parte de alguns cientistas, uma desconfiança de que existiria alguma diferença entre eles. Uma das primeiras distinções foi apresentada pelo físico italiano Giovanni Battista Baliani (1582-1666) no prefácio de seu livro De Motu Gravium (“Sobre o Movimento dos Graves”), publicado em 1638, no qual falava de peso como agente (agens) ou como paciente (patiens). Hoje, o agens é a força de gravitação (portanto, peso), e o patiens é a massa. [Ernst Mach, The Science of Mechanics. A Critical and Historical Account of Its Development (The Open Court Publishing Company, 1974)].

                   Ainda na primeira metade do Século 17, o conceito de massa aparece em uma outra situação física, agora decorrente da ação de uma força sobre um corpo. Assim, para o matemático e filósofo francês René du Perron Descartes (1596-1650) em seu livro Principia Philosophiae (“Princípios de Filosofia”), publicado em 1644, a medida daquela ação é calculada pela “quantidade de movimento” que um corpo adquire em decorrência dessa mesma ação. Em notação atual, essa quantidade é obtida multiplicando-se a sua massa (m) por sua velocidade (v), isto é: mv. O criador da Geometria Analítica dizia ainda que, na ação mútua entre corpos, essa quantidade de movimento, hoje denominada de momento linear (p), é apenas transferida de um corpo para outro, pois o momento total do Universo é conservado, já que ele fora criado por DEUS.

                   O conceito de massa e de quantidade de movimento foi apresentado pelo físico inglês Sir Isaac Newton (1642-1727) em seu célebre tratado intitulado Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (“Princípios Matemáticos da Filosofia Natural”) [tradução em português: Nova Stella/EDUSP, 1990; Great Books of the Western World 32 (Encyclopaedia Britannica, Inc., 1993)], publicado em 1687 e composto de três livros. Ele inicia seu tratado com suas duas primeiras definições:

 

1) Quantidade de Matéria: - É a medida da mesma, obtida de sua densidade e volume conjuntamente;

 

2) Quantidade de Movimento: – É a medida do mesmo, obtida conjuntamente a partir da velocidade (v) e da quantidade de matéria (m): mv.

 

                   Depois de apresentar suas definições (oito, ao todo), Newton apresenta então os Axiomas ou Leis do Movimento (três, ao todo). Destas, destacamos a segunda, na qual ele define força relacionando-a com a quantidade de movimento, ou seja:

 

A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção da linha reta na qual aquela força é impressa (hoje: F  variação de mv).

 

                  Por outro lado, o conceito de quantidade de movimento também aparece no trabalho do matemático e filósofo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), em 1686 (Acta Eruditorum Lipsiensium), quando afirmou que a mesma era calculada pelo produto de sua massa pelo quadrado de sua velocidade (mv2), a qual denominou de vis viva (“força-viva”) (hoje se sabe que ele errou, pois a “força-viva” nada mais é do que o dobro da energia cinética). Destaque-se, também, que o físico holandês Christian Huygens (1629-1695) tratara da massa, denominada por ele de quantitates solidas (“quantidades sólidas”), por ocasião em que definiu a força centrífuga (mv2/r), conforme aparece em seu livro póstumo Opuscula Posthuma (“Opúsculo Póstumo”), publicado em 1703.

                   Os conceitos de massa e de quantidade de movimento clássicos foram retomados pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), em 1736, em seu livro intitulado Mechanica, sive Motus Scientia Analytice Exposita (“Mecânica, ou Ciência do Movimento Estudada Analiticamente”) em que as leis do movimento de Newton (Mecânica Newtoniana) são desenvolvidas pela primeira vez na forma analítica. Por exemplo, Euler apresentou de maneira clara e precisa os conceitos de ponto material e de aceleração (variação temporal da velocidade). Mais tarde, em 1750, Euler preparou um trabalho no qual enunciou o Princípio do Balanço do Momento Linear (hoje, Conservação do Momento Linear: p = mv) como uma extensão da Segunda Lei de Newton, e segundo o qual a aceleração de cada parte infinitesimal de qualquer corpo é igual à força por unidade de massa que atua no mesmo. Tal princípio, ainda segundo Euler, deve aplicar-se a sistemas mecânicos contínuos e discretos, uma vez que sua formulação em termos de equações diferenciais em coordenadas cartesianas retangulares permite sua aplicação a qualquer configuração de corpos no espaço tridimensional. Em vista disso, Euler publicou, em 1752 (Histoire de l´Académie Royale des Sciences et de Belles-Lettres de Berlin pour l´année 1750 6, p. 520) [ver: Clifford Ambrose Truesdell III, Essays in the History of Mechanics (Springer-Verlag, 1968)], um artigo sobre a “descoberta de um novo princípio da mecânica”, no qual apresentou a forma analítica daquela lei da seguinte forma (em notação de hoje):

 

  

 

Fx = m d2x/dt2, Fy = m d2y/dt2, Fz = m d2z/dt2.

 

                    No Século 19, novos aspectos dos conceitos de massa e quantidade de movimento, também sob o aspecto clássico, foram analisados. Por exemplo, em 1847, o físico francês Jean-Baptiste-Charles-Joseph Bélanger (1790-1874) publicou o livro intitulado Cours de Mecanique (“Curso de Mecânica”), no qual denominou de impulso (I) o produto da força aplicada (F) em um corpo pelo tempo (t) decorrido ao se deslocar de um espaço (s), ou seja: I = F t. Ainda nesse livro, ele conservou o nome força-viva leibniziana (vis viva) para m v2, porém à metade dessa expressão (m v2/2), deu o nome de potência-viva (hoje: energia cinética). Desse modo, o impulso, como efeito de uma força no tempo (F t), representa a quantidade de movimento (mv), conforme afirmara o físico e matemático francês Jean le Rond d´Alembert (1717-1783), em 1743. Com efeito, usando as expressões acima para força e velocidade, podemos escrever:

 

F t = m a t = m v.

 

                   Por fim, a definição de massa clássica apresentada por Newton e vista acima, foi criticada pelo físico e filósofo austríaco Ernst Mach (1838-1916) em seu livro intitulado Die Mechanik in Ihrer Entwicklung Historisch-Kritisch Dargestellt (“A Mecânica e uma Consideração Crítico-Histórica de seu Desenvolvimento”), publicado em 1883. Assim, examinando a definição newtoniana de quantidade de matéria (massa): - É a medida da mesma, obtida de sua densidade e volume conjuntamente -, ele percebeu que essa definição era circular, já que não havia maneira de definir a densidade de um corpo independentemente de sua massa. Assim, propôs uma outra definição de massa, mais operacional e deduzida das relações dinâmicas dadas pela segunda e terceira (A toda ação há sempre oposta uma reação igual, ou, as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas a partes opostas) leis de Newton, conforme segue. Estando dois corpos A e B em contato mútuo, o corpo A exerce uma aceleração a sobre B, e este, exerce uma aceleração sobre A, porém de sentido contrário à aceleração a. Considerando a massa de um desses corpos como padrão, a do corpo A (mA), por exemplo, aquelas leis de Newton mostram que essas massas se relacionam como: mB = mA (a/a´). Desta maneira, concluiu Mach, sua definição de massa não precisa da “quantidade de matéria” envolvida na mesma. [Keith R. Symon, Mechanics (Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1961); Mach, op. cit.].

                   A questão da dependência da massa (m) de um corpo com a sua velocidade (v) tem sido objeto de investigação desde o Século 19. Por exemplo, em 1842, o físico e matemático escocês Sir George Gabriel Stokes (1819-1903) mostrou que uma esfera lisa de massa m0 movendo-se com velocidade v em um fluido ideal, infinito e incompressível, sua energia cinética (E) e seu momento linear (p) são dados, respectivamente, pelas expressões: E = mv2/2 e p = mv, sendo m = m0 + . Para Stokes o parâmetroé uma massa hidrodinâmica que depende do raio da esfera e da densidade do meio. Mais tarde, em 1881 (Philosophical Magazine 11, p. 229), o físico inglês Sir Joseph John Thomson (1856-1940; PNF, 1906) chegou ao mesmo resultado, porém, desta vez, ao analisar o movimento de uma esfera carregada através de um espaço ilimitado cheio de um meio de capacidade indutiva K. Contudo, para o descobridor do elétron,  representava agora uma massa eletromagnética que aumentava indefinidamente na medida em que a velocidade da esfera se aproximava da velocidade da luz no vácuo (c). O caráter eletromagnético de  também foi considerado pelo físico holandês Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928; PNF, 1902), inicialmente em 1896, com o nome de massa renormalizada, e em 1899 (Physikalische Zeitschrift 1, p. 39), ao usar sua Teoria dos Elétrons, formulada em 1892, sendo esta fundamentada teoricamente no eletromagnetismo maxwelliano; este havia sido o tema de sua Tese de Doutorado, defendida na Universidade de Leiden, em 1875. [Sir Edmund Taylor Whittaker, A History of the Theories of Aether and Electricity: The Classical Theories (Thomas Nelson and Sons, Ltd., 1951); Lev Borosovich Okun, Physics Today (p. 11, June, 1979); Abraham Pais, ‘Subtle is the Lord…’. The Science and the Life of Albert Einstein (Oxford University Press, 1982)].                        

                   Contudo, a questão atual da dependência de m(v) só começou a ser observada logo no início do Século 20. Assim, em 1901 (Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, p. 143), 1902 (Physikalische Zeitschrift 4, p. 54) e 1903 (Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, p. 90), o físico alemão Walther Kaufmann (1871-1947), em suas experiências no sentido de medir a massa do elétron (me), usando o desvio de raios beta () (elétrons) ao atravessar uma região de campo elétrico (produzido por um condensador) e um campo magnético (gerado por uma bobina), observou que aqueles “raios” apresentavam uma massa aparente maior de a sua massa real, de pelo menos três para um. Nessas experiências, Kaufmann percebeu que a massa eletromagnética do elétron dependia de sua velocidade.

                   Ainda em 1903 (Annalen der Physik 10, p. 105), o físico alemão Max Abraham (1875-1922) desenvolveu um modelo eletromagnético do elétron, considerando-o como uma esfera rígida (de raio a) e com carga elétrica (e) distribuída uniformemente em sua superfície (ideia que tivera em 1902). Desse modo, demonstrou que a “energia eletromagnética” (Eem) e o “momento eletromagnético” (pem) do elétron (deslocando-se com velocidade v) valiam, respectivamente:

 

Eem e2/(2 a) +  v2 + … ,   pem   v + …  . [ = 2 e2/(3 a c2)]

 

Ainda nesse trabalho, Abraham calculou o componente transversal da massa eletromagnética (mt), encontrando:

 

mt = m0 [1 + (2/5)  + + (3/70) + …. ],   ( = v/c)

 

onde m0 é a massa de repouso do elétron.

                   É oportuno destacar que, em 1903 (Proceedings of the Royal Society of London A72, p. 132) e 1904 (Philosophical Transactions of the Royal Society of London A202, p. 165), os físicos irlandeses Frederick Thomas Trouton (1863-1922) e H. R. Noble tentaram demonstrar a existência do éter luminífero cartesiano, procurando encontrar uma possível interação entre a massa eletromagnética do elétron e aquele éter (em grego: ar puro), alinhando um capacitor carregado com a direção do movimento da Terra no “mar etéreo”. Com isso, eles procuravam encontrar um torque do capacitor em consequência daquela interação. Não encontraram nenhum torque. [Alexandre Cherman e Bruno Rainho Mendonça, Por que as coisas caem? Uma breve história da gravidade (Zahar, 2009)]. 

                   A dependência da massa eletromagnética e do momento magnético do elétron com a velocidade foi também objeto de um artigo por parte de Lorentz, em 1904 (Koniklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam 6, p. 809), usando um conjunto de equações envolvendo espaço e tempo, a hoje conhecida transformação de Lorentz, que ele já havia encontrado, em 1899, porém com um fator de escala . Ao considerar  = 1, nesse artigo de 1904, Lorentz encontrou que:

 

Eem c2 +  v2/2 +,   pem   v + ... ,

 

onde:

 

 = (3/4) ,   = (5/4) ,    com   = 2 e2/(3 a c2).

 

                   Também em 1904, em uma monografia intitulada Mathematische Einführung in die Elektronentheorie (“Introdução Matemática da Teoria do Elétron”), o físico alemão Alfred Heinrich Bucherer (1863-1927) demonstrou que um elétron se contraía ao se deslocar com velocidade de modulo v através do éter, porém, mantendo seu volume constante. Segundo esse modelo, a contração do elétron transformava-o em um elipsóide, cujos eixos principais da elipse eram dados por:

 

a s1/3 ;  a s-1/6 , sendo: s = 1 – v2/c2 ,

 

e a é o raio do elétron considerado inicialmente como esférico. Note que esse modelo previa uma massa transversal (mt) para o elétron em movimento, cujo valor se situava entre os encontrados por Abraham e por Lorentz, referidos acima. 

               Uma nova relação m(v), desta vez em outra situação física, foi encontrada, em 1905 (Annalen der Physik 17, p. 891), pelo físico germano-norte-americano Albert Einstein (1879-1955; PNF, 1921), como decorrência de sua famosa Teoria da Relatividade Restrita, esta baseada nos seguintes postulados (em notação atual):

 

1) As Leis da Física são invariantes por uma Transformação de Lorentz;

 

2) A velocidade da luz no vácuo (c) é uma constante em qualquer sistema de referência.

 

                   De posse desses dois postulados, Einstein demonstrou que, para um elétron em movimento com velocidade de módulo v, tem-se:

 

 = ;   = , onde   = [1 – (v/c)2]-1/2

 

onde   e  representam, respectivamente, a massa do elétron no sentido transverso e direcional de seu movimento, e  é a massa do elétron, enquanto o seu movimento for lento (hoje: m0, que é a massa de repouso). Em um outro trabalho, ainda em 1905 (Annalen der Physik 18, p. 639), Einstein mostrou a equivalência entre a inércia (hoje, massa inercial) e energia, conforme se pode ver em: Albert Einstein, Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento e A Inércia de um Corpo será Dependente do seu Conteúdo Energético?, IN: O Princípio da Relatividade (Fundação Calouste Gulbenkian, 1978). Hoje, essa equivalência é traduzida pela célebre expressão:

 

E = m c2 = m0  c2.

 

                   Na conclusão deste verbete sobre a evolução do conceito de massa, é oportuno incluir dois comentários. O primeiro está relacionado com o mecanismo de Higgs e o segundo com uma possível origem quântica da massa. Em verbetes desta série, vimos que a unificação entre as interações (forças) eletromagnética e fraca, proposta pela Teoria de Weinberg (1967)-Salam (1968) (TW-S), resulta na força eletrofraca que é mediada por quatro quanta: o fóton (), partícula não-massiva e mediadora da interação eletromagnética, e os bósons massivos vetoriais (), mediadores da interação fraca. Segundo a TW-S, no início, as partículas , têm massa nula e estão sujeita à simetria “gauge” (sobre essa simetria, ver verbete nesta série). No entanto, por intermédio do mecanismo de Higgs [proposto pelo físico inglês Peter Ware Higgs (n.1929), em 1964], do qual participam o dubleto Higgs () e o antidubleto Higgs (), há a quebra espontânea daquela simetria, ocasião em que permanece com massa nula, porém os  adquirem massas por incorporação dos bósons carregados (), ao passo que adquire massa de uma parte dos bósons neutros (), ficando a outra parte () como uma nova partícula bosônica (spin nulo) escalar, o hoje famoso bóson de Higgs (bH) (hoje conhecida como a partícula de Deus), com uma massa de aproximadamente 166 GeV/c2. [Abdus Salam, Em Busca da Unificação (Gradiva, 1991); Leon Lederman and Wick Teresi, The God Particle (Delta, 1993)]. Note que o bH é o Santo Graal da Física, pois a descoberta dele consolidará o Modelo Padrão da Física das Partículas Elementares. Por essa razão, ele está sendo procurado nos dois maiores aceleradores do mundo: o Fermi Laboratories (FERMILAB), nos Estados Unidos da América, com o seu acelerador Tevatron, e no Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire (CERN), na fronteira França/Suíça, por intermédio de seu Large Hadron Collider (LHC) (“Grande Colisor de Hádrons”); esses aceleradores têm a capacidade de acelerar partículas com a energia de Tev [1 TeV (tera eV) = 1012 eV, sendo que 1 eV (~ 1,60 10-19 J) é a energia eletrostática de um elétron (e) sob a diferença de potencial de 1 volt (V)]. É interessante destacar que, em 30 de março de 2010, o LHC conseguiu realizar a colisão de dois feixes de prótons (íon-íon), em sentidos contrários, cada um com a energia de 3,5 TeV. Em vista disso, os cientistas que trabalham no LHC pretendem confirmar a existência teórica do bH.     

                   O segundo comentário relaciona-se com uma possível origem quântica da massa, conforme registramos acima. Essa possibilidade decorre da aplicação da Mecânica Quântica de de Broglie (1926)-Bohm (1952), por exemplo, ao movimento de um pacote de onda gaussiano em um campo elétrico ou gravitacional, e o de um elétron estendido (com dimensões maiores do que o raio clássico do elétron: ~ 0,510-10 m). Tais aplicações mostram que o atributo da massa pode ser visto como um efeito quântico derivado do potencial quântico de Bohm (VQB) (sobre este potencial, ver verbete nesta série). [Peter R. Holland, The Quantum Theory of Motion: An Account of the de Broglie-Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics (Cambridge University Press, 1993); José Maria Filardo Bassalo, Paulo de Tarso Santos Alencar, Mauro Sérgio Dorsa Cattani e Antonio Boulhosa Nassar, Tópicos de Mecânica Quântica de de Broglie-Bohm (EDUFPA, 2002); José Maria Filardo Bassalo, Paulo de Tarso Santos Alencar, Daniel Gemaque da Silva, Mauro Sérgio Dorsa Cattani e Antonio Boulhosa Nassar, arXiv , (12 de abril de 2010)].