CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Filardo Bassalo
www.bassalo.com.br

Braço de Alavanca Arquimediano/Da Vinciano.

 

O matemático grego Arquimedes de Siracusa (c.287-212) formalizou as leis da alavanca em seu tratado De Aequiponderantibus (“Sobre o Equilíbrio dos Planos”), usando argumentos lógicos diretos e por intermédio de quatro de seus sete Postulados com os quais iniciou esse seu tratado, e que são os seguintes [Arquimedes, Great Books of the Western World 10 (Encyclopaedia Britannica, Inc., 1993)]:

 

Postulado 1:-  Pesos iguais a igual distância estão em equilíbrio, e pesos iguais a distâncias desiguais não estão em equilíbrio, mas inclinam-se para o peso que está na maior distância;

 

Postulado 2: - Se, quando pesos em determinadas distâncias estão em equilíbrio, se algo for adicionado a um desses pesos, então o equilíbrio é rompido e se inclina para o lado em que o peso foi aumentado;

 

Postulado 3: -  Similarmente, se algo for subtraído de um dos dois pesos, então o equilíbrio é rompido e se inclina para o lado em que o peso não foi alterado;

 

Postulado 6: - Se grandezas a certa distância estão em equilíbrio, outras grandezas iguais a elas estarão também em equilíbrio nessa mesma distância.

 

                   De posse desses Postulados Arquimedes demonstrou as seguintes Proposições

 

Proposições 6/7: - Grandezas comensuráveis (6) ou incomensuráveis (7) equilibram-se quando são inversamente proporcionais às suas distâncias ao ponto de apoio

 

                   Essas Proposições, conhecidas como Leis da Alavanca de Arquimedes, foram novamente tratadas por Arquimedes em seu livro intitulado Método (Códex C), que se inicia com uma carta que Arquimedes escreveu para o astrônomo grego Eratóstenes de Cirena (c.276-c.196), célebre por haver calculado o diâmetro da Terra (vide verbete nesta série). É interessante ressaltar que esse livro esteve perdido por cerca de 800 anos, desde quando soldados cristãos, em abril de 1204, saquearam Constantinopla, então a cidade mais rica da Europa. Sobre a história desse desaparecimento e da tradução de seu texto, ver o excelente livro: Reviel Netz e William Noel, Códex Arquimedes (Record, 2009).

                   Arquimedes usou as Proposições 6/7 de seu De Aequiponderantibus para, na  demonstração da Proposição 1 de seu Método, calcular a área de um segmento de parábola, como sendo 4/3 da área do triângulo inscrito (ver figura mais adiante). É oportuno registrar que as secções cônicas (parábola, hipérbole e elipse), haviam sido descobertas pelo matemático grego Apolônio de Perga (Pérgamo) (c.261-c.190) (vide verbete nesta série). Na demonstração referida acima, está implícito (em meu entendimento) o que mais tarde o artista, inventor e cientista italiano Leonardo da Vinci (1452-1519) chamaria de alavanca potencial (hoje, braço de alavanca). Com efeito, em seus escritos sobre esse tema, Da Vinci demonstrou que dada uma alavanca AB, de extremidade A móvel, se em sua extremidade B são aplicados dois pesos, um vertical P e um horizontal Q (este aplicado por intermédio de uma roldana), e se o equilíbrio dessa alavanca ocorre para uma dada posição de sua inclinação, então a relação P/Q depende das distâncias, horizontal e vertical, entre, respectivamente, as direções de P e Q e o ponto de rotação A. [Clifford Ambrose Truesdell III, Essays in the History of Mechanics (Springer-Verlag, 1968)].

                   Na demonstração do cálculo da área de um segmento de parábola, Arquimedes usa também uma alavanca inclinada (HKN), com os “pesos” representados pelos segmentos de reta MO e TG, conforme indica a figura (do lado esquerdo) do livro de Arquimedes (op. cit.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                 

 

 

 

 

 

 Já no livro de Netz e Noel (op. cit.), a alavanca inclinada (figura do lado direito) é representada por TKC e os “pesos”, por MX e SH. Para demonstramos a nossa conjectura, usaremos a figura do livro do Netz e Noel. De N tracemos uma paralela a AC, que encontrará ZA no ponto P, e o prolongamento de SH no ponto Q. Desse modo, construímos dois triângulos semelhantes: TQN e KPN. Usando a geometria euclidiana [escrita pelo matemático grego Euclides de Alexandria (c.323-c.285); Great Books of the Western World 10, op. cit.], temos:

 

NQ/NP = NT/NK  (NQ-NP)/NP = (NT-NK)/NK    QP/NP = KT/NK (1)

 

                   Ora, Arquimedes havia demonstrado que:

MX(MO)/SH(TG) = KT(KH)/NK (2);

 

então comparando (1) e (2), virá:

 

MX/SH = QP/NP     MX  NP = SH  QP.            (3)

 

                   Na linguagem moderna dos momentos estáticos (vide verbete nesta série), e considerando MX e SH como sendo, respectivamente, os pesos P (potência) e R (resistência) e NP e QP, respectivamente, os braços de alavanca de P (bP) e de R (bR), a expressão (3) traduz  a célebre expressão do equilíbrio da alavanca arquimediana-da vinciana:

 

P  bP = R  bR.

 

                   Em vista do exposto acima, cremos que o conceito de alavanca potencial da vinciana já estava implícito nos trabalhos de Arquimedes.