CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Filardo Bassalo
www.bassalo.com.br

Álgebra e Análise Vetorial, e os 4-Vetores de Minkowski.

 

Em 1844, o matemático alemão Hermann Günther Grassmann (1809-1877) (grande autoridade em sâncristo) publicou o livro intitulado Die Lineale Ausdehnungslehre: Ein neuer Zweig der Mathematik (“A Teoria de Extensão Linear: Um novo Ramo da Matemática”), que pode ser considerado o precursor da Álgebra Vetorial uma vez que, as duas operações (produto interno e produto externo) que ele define nesse livro para tratar dos hipernúmeros – uma generalização dos números complexos -, são hoje conhecidos como o produto escalar (.) e o produto vetorial () entre esses novos entes matemáticos: vetores. Estes são caracterizados por seus componentes em relação a um dado sistema de coordenadas. Em Física, os mais usados desses sistemas são: cartesiano (x, y, z), cilíndrico (a, θ, z) e esférico (r, θ, φ). Por exemplo, no caso cartesiano, aqueles produtos entre os vetores  e , são dados por:

 

.  = AxBx + Ay By + AzBz , 

 

  = (Ay Bz – Az By) + (Az Bx – Ax Bz) + (Ax By – Ay Bx) ,

 

sendo , ,  os versores (vetores unitários) na direção dos eixos dos x, y, z, respectivamente. Para outros sistemas de coordenadas, ver: Thor A. Bak and Jonas Lichtenberg, Vectors, Tensors and Groups (W. A. Benjamin, Inc., 1967); José Maria Filardo Bassalo e Mauro Sérgio Dorsa Cattani, Álgebra Exterior (Livraria da Física, 2009).

                   Em Mecânica, temos os seguintes exemplos dessas duas operações vetoriais:

 

.  (trabalho mecânico);   (torque);  (momento angular),

 

onde  = m  é o vetor força [sendo  = , o vetor aceleração; = , o vetor velocidade; e , o vetor espaço],  é o vetor posição, e  é o vetor momento linear, e m a massa. Para outros exemplos físicos, ver: Bassalo e Cattani, op. cit.

                   Em 1853, o matemático irlandês William Rowan Hamilton (1805-1865) publicou o livro Lectures on Quaternions (“Conferências sobre Quatérnios”), no qual desenvolveu a teoria dos quatérnios, um ente matemático composto de quatro componentes, que decorre da aplicação do operador diferencial nabla, de notação  (dada por ele porque se assemelhava a um antigo instrumento musical hebreu que tinha essa forma e era chamado de nabla) e definido por:

 

 = (d/dx)  + (d/dy)  + (d/dz) ,

 

que aplicado a uma função vetorial , resulta:

 

,

 

sendo:

 = - [(dVx/dx) + (dVy/dy) + (dVz/dz)],

 

 = (dVz/dy – dVy/dz) + (dVx/dz – dVz/dx) + (dVy/dx – dVx/dy)

 

que, como se pode ver por essas expressões, o quatérnio hamiltoniano é constituído de uma parte escalar e de uma parte vetorial.

                   Em verbetes desta série, vimos que, em 1871, o físico e matemático escocês James Clerk Maxwell (1831-1879) retomou os quatérnios de Hamilton para construir a sua Teoria Eletromagnética, porém, redefiniu-os, da seguinte maneira: 1) foi chamado por ele de convergência, pois a mesma já havia aparecido no estudo da hidrodinâmica desenvolvida no Século 18, principalmente nos trabalhos do matemático francês Jean le Rond d´Alembert (1717-1783), em 1749: 2)  ele o chamou de rotacional, pois ela significava ser duas vezes a taxa de rotação de um fluido em um ponto. Por outro lado, o produto escalar do nabla (.= ) aplicado a uma função escalar (q) foi chamado por Maxwell de concentração, pois representava o excesso do valor de q em um dado ponto sobre o seu valor médio na vizinhança daquele mesmo ponto.  É oportuno registrar que o operador  já havia sido inventado pelo matemático e astrônomo francês Pierre Simon, Marquês de Laplace (1749-1827), em 1782, em seu estudo da atração gravitacional entre corpos. Contudo, ele não usava a notação  e , e sim:  e , sendo i = 1, 2, 3, respectivamente. Somente em 1833, o matemático inglês Robert Murphy (1805-1843) usou a notação  para o hoje conhecido operador laplaciano.

                   Ainda em 1871, Maxwell demonstrou os seguintes importantes Teoremas da Análise Vetorial (em notação atual):

 

; . ;  . .

                 

                   A linguagem dos quatérnios hamiltonianos foi substituída pelo físico e químico norte-americano Josiah Williard Gibbs (1839-1903) em seu livro de nome Elements of Vector Analysis (“Elementos de Análise Vetorial”), escrito em 1881. Nele, as operações diferenciais sobre vetores, envolvendo o operador gradiente () e as operações algébricas (.) e (), são representadas por: . (divergência),  (rotacional) e .   (laplaciano). Registre que o nome divergência foi dado pelo matemático e filósofo inglês William Kingdon Clifford (1845-1879). Essa nova linguagem vetorial também foi usada pelo físico e engenheiro eletricista inglês Oliver Heaviside, no livro Electromagnetic Theory (“Teoria Eletromagnética”), que escreveu em 1893. [Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Oxford University Press, 1972)].

                   Conforme vimos em verbete desta série, um exemplo, em Física, dessas novas operações vetoriais é dado pelas famosas Equações de Maxwell (em notação atual, no sistema CGS e no vácuo):

 

. ; ;

 

. ; ,

 

onde  e  representam, respectivamente, o campo elétrico e a indução magnética,  é a densidade de carga elétrica,  é a densidade de corrente elétrica, e c é a velocidade da luz no vácuo. [John David Jackson, Classical Electrodynamics (John Wiley and Sons, 1975); Josif Frenkel, Princípios de Eletrodinâmica Clássica (EDUSP, 1996); José Maria Filardo Bassalo, Eletrodinâmica Clássica (Livraria da Física, 2007)]. É oportuno registrar que Maxwell apresentou essas equações em seu livro A Treatise on Electricity and Magnetism (“Um Tratado sobre Eletricidade e Magnetismo”) (Dover Publications, Inc., 1954), publicado em 1873, usando a linguagem dos quatérnios hamiltonianos. 

                   Em 1904 (Koniklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam 6, p. 809), o físico holandês Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928; PNF, 1902) demonstrou que as coordenadas espaciais (x, y, z) e o tempo (t) se transformam da seguinte maneira:

 

x´ =  (x - vt);  y´ = y;  z´= z;  t´=  (t – vx/c2),  [ = (1 – v2/c2)-1/2]

 

quando um sistema de coordenadas (x´, y´, z´) se desloca com uma velocidade v constante, paralelamente ao eixo dos x de um sistema de coordenadas (x, y, z). Esse grupo de equações foi denominado de Transformações de Lorentz (TL) pelo físico e matemático francês Jules Henri Poincaré (1854-1912), em 1905 (Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l´Académie des Sciences de Paris 140, p. 1504). 

                   Em 1908 (Königlich Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen Nachrichten, Mathematisch-Physikalische Klasse, p. 53), o matemático russo-alemão Hermann Minkowski (1864-1909) mostrou que as TL representavam uma espécie de “rotação” num espaço 4-dimensional (x, y, z, ict; i = ), com uma métrica  (medida da distância entre dois pontos nesse espaço) definida por:

 

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 – c2dt2,

 

caracterizando o Espaço de Minkowski (EM).

                   Nesse EM, a posição, a velocidade, o momento linear, a aceleração e a força são representados por 4-vetores e definidos pelas seguintes expressões (em notação atual):

 

 (4-vetor posição);  []

 

 (4-vetor aceleração);

 

 (4-vetor momento);

 

 (4-vetor aceleração);

 

(4-vetor força) (),

 

sendo m0 a massa de repouso e  o tempo próprio, ambos medidos em um referencial inercial em repouso, e E = m0 c2 = mc2.