CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Filardo Bassalo
www.bassalo.com.br

O Tempo na Mecânica Quântica.

 

Em verbetes desta série, vimos que em 1900, o físico alemão Max Karl Ernest Planck (1858-1947; PNF, 1918) demonstrou que a energia dos osciladores moleculares (de frequência ν), não variava continuamente e, sim, discretamente, como múltiplos da quantidade hν (onde h foi posteriormente chamado de constante de Planck), denominada por ele de quantum de energia. Mais tarde, em 1913, o físico dinamarquês Niels Henrik David Bohr (1885-1962; PNF, 1922) formulou o modelo atômico quântico, segundo o qual os elétrons giravam em determinadas órbitas circulares em torno do núcleo atômico, com o módulo do momento angular (L) quantizado (L = nh/2π), bem como as suas energias (E) também quantizadas [E = - (13,6/n2) eV (elétron-Volt), com n = 1, 2, ... , e o sinal menos (-) indicando que as órbitas são presas (ligadas) ao núcleo]. Esse modelo, no entanto, foi substituído pela Mecânica Quântica, desenvolvida entre 1925 e 1927, cuja formulação motivou uma discussão entre Bohr e o físico alemão Werner Karl Hiesenberg (1901-1976; PNF, 1932), qual seja, a de se explicar (por intermédio de uma experiência de pensamento) as órbitas eletrônicas bohrianas numa câmara de névoa ou câmara de Wilson (sobre esse dispositivo, ver verbete nesta série), usando o formalismo matemático dessa Mecânica. Para explicá-las, Heisenberg foi levado, em 1927, à apresentação do famoso Princípio da Incerteza: - É impossível obter exatamente os valores simultâneos de duas variáveis, a não ser dentro de um limite mínimo de exatidão [Werner Karl Heisenberg, The Physical Principles of the Quantum Theory, (Dover Publications, Inc., em 1949); Physics and Beyond: Encounters and Conversations, (Harper and Row, Publishers, em 1971)]. Para o caso das variáveis momento linear (p) e posição (x), esse princípio é traduzido por uma expressão envolvendo os erros (Δ) em suas medidas, ou seja: Δpx Δx ≈  h, conhecida como Relação (Princípio) de Incerteza de Heisenberg [RI(P)H], segundo sua proposição inicial. 

                   Essa RIH conduziu a um resultado revolucionário em Física. Vejamos qual. Na Mecânica Newtoniana, o movimento de uma partícula é regido pela Segunda Lei de Newton, que é dada por Fx = m d2x/dt2 (movimento unidimensional). Pois bem, para resolvê-la, isto é, calcular a trajetória [x(t)] seguida pela partícula, é necessário conhecer a velocidade v (e, consequentemente, o p, uma vez que p = mv) e x da mesma em um determinado instante (t). Contudo, segundo a RIH, posição e velocidade (ou momento) não podem ser conhecidas simultaneamente, pois sabendo a posição de uma partícula com precisão absoluta (Δx = 0), perdemos completamente a informação sobre a velocidade da mesma, visto que, segundo a RIH, temos: Δ(m vx ) Δx ≈  h, então, para Δx = 0 teremos Δvx → ∞. Deste modo, do ponto de vista da Mecânica Quântica, dizemos que a trajetória de uma partícula é indeterminada. É oportuno destacar que, em 1952, o físico norte-americano David Joseph Bohm (1917-1992) desenvolveu uma formulação determinista causal para a Mecânica Quântica. Para detalhes dessa Mecânica, ver verbetes nesta série. 

               Agora, aplicando a RIH ao par de variáveis energia (E) e tempo (t), resultará na relação de incerteza ΔE Δt ≈  h, que permite mostrar ser estacionário o estado de um sistema com E bem definida, pois, neste caso, tem-se: ΔE = 0 e, portanto, teremos Δt → ∞, limite esse que caracteriza as órbitas estacionárias do modelo de Bohr de 1913 (vide verbete nesta série). Observe-se que, como ainda não se conseguiu atribuir um operador para o tempo (t), essa relação é denominada de relação de dispersão (RD).  Essa RD caracteriza o que denominamos o aspecto do tempo quântico, já que ela nos permitirá saber se o tempo é discreto ou contínuo. Vejamos de que maneira. A variável energia (E) envolvida na expressão acima é uma grandeza física que varia discretamente, conforme postulou Planck, em 1900, segundo vimos acima. Mais tarde, em 1926, quando o físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961; PNF, 1933) propôs sua famosa equação – H Ψ = E Ψ - para explicar as órbitas estacionárias do elétron no átomo de hidrogênio (H), ele demonstrou o aspecto discreto da energia bohriana. Destaque-se que, como a equação de Schrödinger (ES) é não-relativista e não considera o spin do elétron, o físico inglês Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984; PNF, 1933), em 1928, deduziu uma equação para estudar a dinâmica do elétron – a célebre equação de Dirac (ED) – que é relativista e spinorial; a partir daí surgiu a Mecânica Quântica Relativística, bem como a Eletrodinâmica Quântica (vide verbete nesta série).     

                   O desenvolvimento posterior da Mecânica Quântica mostrou que seu formalismo matemático permite demonstrar a RIH para um dado par de variáveis físicas, desde que se possa atribuir a cada uma delas um operador, e que não comutem entre si, isto é, dados dois operadores A e B, eles anticomutam quando: AB ≠ BA. Contudo, enquanto se pode atribuir à variável E o operador hamiltoniano (H = T + V, sendo T a energia cinética e V o potencial), até o presente momento não se encontrou um operador para t. Por essa razão, sob o aspecto quântico, o tempo é considerado, portanto, uma grandeza que varia continuamente. Registre-se que a ideia de ser o tempo considerado como uma variável dinâmica discreta foi discutida pelo físico sino-norte-americano Tsung-Dao Lee (n.1926; PNF, 1957), em 1983 (Physics Letters B122, p. 217), tanto na Mecânica Clássica quanto na Mecânica Quântica Não-Relativística e Relativística.

                   Ainda na Mecânica Quântica [Relativística (ED) e Não Relativística (ES)], na Mecânica Estatística Quântica (MEQ) e na Teoria Quântica de Campos (TCQ), é interessante destacar alguns aspectos do uso do tempo. Quando fazia o doutoramento em Física (concluído em 1942) na Universidade de Princeton, nos Estados Unidos, o físico norte-americano Richard Philips Feynman (1918-1988; PNF, 1965) começou a questionar o determinismo das equações diferenciais ordinárias da Mecânica: Clássica (EN-E), Quântica Não-Relativística (ES) e Relativística (ED). Esse determinismo, conforme vimos anteriormente, significava dizer que conhecida a posição de uma partícula (p.e.: o elétron) em um dado instante, saberemos o que ela (ele) fez ou fará posteriormente. Pois bem, a partir desse questionamento, Feynman partiu do princípio de que a partícula poderia fazer o que quisesse, podendo, inclusive, voltar no tempo. É oportuno ressaltar que essa possibilidade da inversão temporal, já havia sido usada, em 1934 (Annalen der Physik 21, p. 367), pelo físico suíço Ernst Carl Gerlach Stückelberg (1905-1984) ao explicar que o pósitron (vide verbete nesta série) poderia ser tratado como um elétron viajando do futuro para o passado. Assim, continuava Feynman, partindo-se do estado de um elétron em certo instante (t0), saberemos calcular um outro estado do mesmo em um outro tempo (t), se somarmos as contribuições de todos os infinitos possíveis históricos do elétron que o levam de um estado a um outro possível. Para Feynman, o histórico de um elétron era qualquer caminho (trajetória) possível no espaço e no tempo, podendo inclusive voltar no tempo, conforme havia afirmado antes. Esses infinitos históricos (por causa da RIH, que não permite que sejam definidas trajetórias para partículas) eram representados por figuras, mais tarde conhecidas como diagramas de Feynman, que são calculados por intermédio de uma integral (integral de caminho – path integral), e o resultado recebe o nome de propagador de Feynman, segundo sua formulação apresentada em 1948 (Review of Modern Physics 20, p. 367). Esses propagadores, assim como a inversão temporal, foram utilizados por Feynman, para desenvolver a Teoria dos Pósitrons, em 1949 (Physical Review 76, p. 749; 769). [Richard Philips Feynman, Quantum Electrodynamics (W. A. Benjamin, Inc., 1962)].

                   Na MEQ, outro aspecto quântico do tempo foi apresentado pelo físico suíço-norte-americano Felix Bloch (1905-1983; PNF, 1952), em 1932 (Zeitschrift für Physik 74, p. 295), ao estudar a dinâmica do ferromagnetismo e considerar que havia uma correlação entre temperatura (T) e tempo imaginário definido pela expressão dada por: t = - i (h/2 k T), onde k é a constante de Boltzmann e i = . Com essa extensão analítica do tempo, ele transformou sua equação – equação de Bloch - numa ES. [José Maria Filardo Bassalo, Mauro Sérgio Dorsa Cattani e Antonio Boulhosa Nassar, Aspectos Contemporâneos da Física, (EdUFPA, 1999)]. Na TQC, em 1981 (Nuclear Physics B188, p. 9; 513), o físico-matemático norte-americano Edward Witten (n.1951) introduziu a supersimetria na TQC em (0 + 1) dimensões, que ficou conhecida como Mecânica Quântica Supersimétrica (MQS), na qual o tempo é a coordenada e a posição é o próprio campo.  [Elso Drigo Filho, Supersimetria Aplicada à Mecânica Quântica (EdUNESP, 2009)].         

                   Para concluir este verbete sobre o tempo na Mecânica Quântica, analisemos o seu comportamento no famoso Paradoxo EPR. Segundo registramos em verbetes desta série, quando Schrödinger propôs sua famosa ES, em 1926, segundo registramos acima (H Ψ = E Ψ), surgiu uma questão intrigante: qual o significado físico da função de onda (Ψ)?. Uma das respostas que tem mais adeptos até hoje foi apresentada pelo físico alemão Max Born (1882-1970; PNF, 1954), ainda em 1926, que a considerou como uma amplitude de probabilidade. A essa interpretação sobrepôs-se uma outra relevante questão. Será sempre possível observar uma grandeza física? A resposta a essa pergunta foi dada por Heisenberg, em 1927, por intermédio da RIH, comentada anteriormente. A partir dela, desenvolveu-se a Mecânica Quântica Probabilística (Indeterminista) (MQI) – conhecida como Interpretação de Copenhague (IC) – por ser adotada por Bohr que liderava um grupo de pesquisa em Copenhague. Essa interpretação foi questionada por Einstein, no célebre Congresso de Solvay, realizado na cidade de Bruxelas, na Bélgica, em 1927. [Sobre essa discussão entre Einstein e Bohr, ver: Paul Arthur Schilpp (Editor), Albert Einstein: Philosopher-Scientist, (Open Court, 1970)]. Para dar mais consistência ao argumento que Einstein apresentou naquele Congresso (e, posteriormente, no de 1930, ainda em Bruxelas) contra a IC, ele e os físicos, o russo Boris Podolsky (1896-1966) e o norte-americano Nathan Rose (1909-1955) apresentaram, em 1935 (Physical Review 47, p. 777), o hoje conhecido Paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen ou Paradoxo EPR: - Se, sem perturbar um sistema físico, for possível predizer, com certeza (isto é, com a probabilidade igual a um) o valor de uma quantidade física, então existe um elemento da realidade física correspondente a essa quantidade física.  

               Para chegar a essa afirmação, esses três físicos examinaram a situação de dois sistemas, I e II, que interagem entre t=0 e t=T, e depois desse intervalo de tempo deixam de interagir. Supuseram, também, que os estados dos dois sistemas eram conhecidos antes de t=0. Desse modo, com auxílio da MQI, afirmaram que pode ser calculada a Ψ do sistema I + II, para qualquer t > T. Os resultados dos cálculos quanto-mecânicos que realizaram com a Ψ para a situação que haviam considerado [também conhecida como experiência de pensamento (gedankenexperimente)], podem ser descritos de outra maneira. Vejamos qual. Sejam duas partículas (1, 2) (p.e.: elétrons), com os respectivos, momento linear (,) e posição (,), que estão em um estado com momento linear  e posição relativa . Então, elas interagem entre si durante algum tempo, e em seguida deixam de fazê-lo. Assim, conhecidos os valores de  e  (que podem ser nulos, bastando para isso considerar que elas estão paradas e juntas), então, medidas simultâneas de  e  nos darão, respectivamente, os valores de , sem perturbar a partícula 2 e de , sem perturbar a partícula 1. Desse modo, afirmaram os três físicos, teremos obtido simultaneamente os valores de  e , da partícula 2, que são elementos da realidade física. Contudo, a MQI proíbe que se conheçam, simultaneamente, momento linear e posição de uma partícula. Daí a razão desse artigo ser conhecido como o Paradoxo EPR (P-EPR), nome esse cunhado pelo físico norte-americano David Joseph Bohm (1917-1992) em seu livro intitulado Quantum Theory (Prentice-Hall, 1951). Portanto, segundo o P-EPR, a medição da posição (ou momento linear) de uma partícula poderia ser feita sem perturbar a outra, porque elas estavam separadas no espaço e não interagindo por intermédio de sinais locais (com a velocidade da luz que, no entanto, é finita) no momento das medições e, portanto, estariam sob uma interação (ação) a distância (p.e.: como na gravitação newtoniana). Portanto, tal interação ocorria em um tempo nulo, uma vez que essas medidas apresentavam resultados simultâneos. 

   O P-EPR recebeu a imediata contestação de Bohr, primeiro por intermédio de uma carta que escreveu à Revista Nature dois meses depois da publicação do artigo EPR, na qual dizia que não concordava com as conclusões desse artigo, prometendo escrever um outro mais detalhado, o que realmente ocorreu, ainda em 1935 (Nature 136, p. 65; Physical Review 48, p. 696). Com efeito, Bohr usou a MQI e deu uma explicação para o P-EPR dizendo que a medição de um de dois objetos quânticos (p.e.: elétrons) correlacionados afeta o parceiro correlacionado. Assim, quando um objeto de um par correlacionado sofre uma medida da função de onda Ψ [na linguagem da MQI, essa medida chama-se de colapso da função de onda (vide verbete nesta série)] em um estado de momento linear (p.e., ), a função de onda do outro também entra em colapso (no estado de momento linear),  -  e nada se pode dizer sobre a posição () do outro objeto correlacionado. O mesmo ocorre se for medida a posição (ou ). Portanto, segundo Bohr, o colapso da função de onda do mesmo modo que a correlação (entanglement) são objetos que apresentam uma Inseparabilidade Quântica (vide verbete nesta serei).