CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Filardo Bassalo
www.bassalo.com.br

 Revisitando o Sistema MKS/SI: Quilograma (kg).

 

Nos dois verbetes anteriores, investigamos a evolução das definições de metro e de segundo. Suas últimas definições, de 1983 e 1967, respectivamente, até o presente momento (outubro de 2011), são consideradas como as únicas. Neste verbete, trataremos da história da definição do quilograma, que ainda se encontra em discussão.

                   A primeira definição da unidade de massa foi a seguinte: - O quilograma (kg) é a massa de um (1) decímetro cúbico (1dm3 = 10-3 m) de água com densidade máxima (40C).  No entanto, como o volume da água varia com a sua pureza, em 1878, o Comitê Internacional sobre Pesos e Medidas (CIPM) construiu o primeiro padrão do quilograma: - É a massa de um cilindro equilátero, de 39 mm de altura e 39 mm de diâmetro, construído de uma liga de 90% de platina (Pt) e 10% de irídio (Ir). Esse padrão [depositado no Museu Internacional de Pesos e Medidas (MIPM), localizado em Sèvres, próximo de Paris], que correspondia à massa de um (1) decímetro cúbico de água na densidade máxima, foi tomado como a unidade universal de massa por ocasião da 1a. Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), em 1889, e apresentava uma precisão de uma parte em 109. Mais tarde, contudo, foi observado que na construção desse padrão havia um erro de 28 partes em 106.

                   Com a diminuição da massa do padrão do kg, calculada como sendo da ordem de 510-11 kg, devido à sublimação de gases incorporados ao padrão por ocasião de sua fabricação, os metrologistas procuram uma nova definição de quilograma, desta vez em termos de uma constante física, como foi feito com o metro e com o segundo, a partir da década de 1950, conforme vimos nos dois verbetes anteriores. Porém, para o kg, somente a partir da década de 1970, é que várias propostas foram então apresentadas para essa nova definição, como se pode ver nos sites: pt.wikipedia.org/wiki/Quilograma; www.sciencedaily.com/releases. Vejamos quais são elas. Em 1973 (Metrologia 9, p. 21), B. N. Taylor propôs a seguinte definição: - O quilograma é a massa de exatos NA/0,012 átomos de carbono-12 (6C12) em repouso. Nessa definição, NA = 6,022141791023/mol, é o conhecido número (constante) de Avogadro. Note-se que, em 1900 [Grundriss der allgemeinen Chemie (Leipzig: Engelmann)], o químico alemão Friedrich Wilhelm Ostwald (1853-1932; PNQ, 1909) propôs a seguinte definição: - Mol (mole) é o peso molecular de uma substância expresso em gramas. Em 1917 [Grundriss der allgemeinen Chemie (Dresden: Steinkopff)], ainda Ostwald definiu o mol como: - A quantidade de qualquer gas ideal que ocupe o volume de 22.414 mℓ, em condições normais de pressão e temperatura. Em 1960, quando foi criado o SI por ocasião da 11a. Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), realizada em Paris, o mol recebeu esta definição: - É a quantidade de matéria de um sistema contendo tantas entidades elementares quantos átomos existem em 0,012 kg  de carbono-12. Observe-se que, em 2006, o Committee on Data for Science and Technology (CODATA) do Council of Scientific Unions (ICSU), encontrou que: NA = (6,02214179 0,00000030) 1023/mol. {Francisco Caruso e Vitor Oguri, Física Moderna: Origens Clássicas e Fundamentos Quânticos (Campus, 2006); Peter J. Mohr, Barry N. Taylor and David B. Newell, arXiv:0801.0028v1 [physics.atom-ph] 28 December 2007}.

                   No site sobre o quilograma referido anteriormente, encontramos mais duas definições para essa unidade de massa, que são: 1) - O quilograma é a unidade básica de massa, igual a 1.097.769.238.499.215.084.016.780.676.223 unidades de massa do elétron (me). Essa definição relaciona-se com me, apresentada pelo CODATA, em 2006 (Mohr, Taylor and Newell, op. cit.), como tendo o seguinte valor: me = (9,109382150,00000045)10-31 kg; 2) – O quilograma é a massa que será acelerada precisamente a 210-7 m/s2 quando submetida a uma força (massa  aceleração) por metro linear entre dois fios condutores retilíneos, paralelos, de comprimento infinito e de secções retas desprezíveis, no vácuo, distantes entre si de um metro (1 m), por onde passa uma corrente elétrica constantes de exatos 6.241.509.479.607.717.888 ampères [1 ampère (A) = coulomb/segundo].

                   Sobre a definição acima, é necessário fazer um comentário. Ela decorre da definição de A que, por sua vez, decorre da unidade exata de carga elétrica (e). Antes do conhecimento da relação entre carga elétrica e elétron [o que só aconteceu em 1897, com as experiências do físico inglês Sir Joseph John Thomson (1856-1940; PNF, 1906), segundo vimos em verbete desta série], a definição de carga elétrica decorria do estudo da eletrólise, que foi desenvolvida pelo físico e químico inglês Michael Faraday (1791-1867), em 1833, também conforme vimos em verbete desta série. Assim, a carga elétrica Q liberada por z íons [cada íon de massa (m)], de um metal (de massa molecular M) sob a ação de uma corrente elétrica é dada por: Q = F m z/M, onde F é a constante de Faraday (carga/mol) e a corrente elétrica correspondente, era definida por: - O ampère é a corrente elétrica necessária para depositar 0,001 118 00 grama de prata (Ag) de uma solução de nitrato de prata (AgNO3) em um segundo. Observe-se que, em 2006 (Mohr, Taylor and Newell, op. cit.), CODATA indicou que e tivesse o seguinte valor: e = (1,602 176 4870,000000040)10-19 coulomb.

                   Outra tentativa de definir o quilograma é por intermédio da constante de Planck [h (= energia  frequência)] e da velocidade da luz [c (= m/s)]. Existem duas maneiras de apresentar essa definição: 1) a que está oficialmente em andamento, usando o Efeito Josephson (EF) (1962) (vide verbete nesta série) e o Efeito von Klitzing (EK) ou Efeito Hall Quantizado Inteiro (1980) (vide verbete nesta série); 2) e uma conjectural por intermédio do Efeito Fotoelétrico e da Relatividade Restrita, ambos de 1905.  Vejamos a primeira maneira. Em 1975, B. J. Kibble do National Physical Laboratório (NPL), na Inglaterra, propôs um tipo de experiência, hoje conhecida como Balança Watt (BW), que compara medidas de potência elétrica e mecânica. Nessa experiência, uma bobina (coil) é suspensa em um prato de uma balança e colocada nas proximidades de um imã permanente que produz um campo de indução magnética (B) constante. A experiência é realizada em duas etapas: na primeira, uma corrente elétrica (I) flui na bobina fixa de comprimento L e, em consequência da força de Lorentz (ILB) (ver verbete nesta série), ela é forçada para baixo, que é contrabalançada pela ação da aceleração da gravidade (g) sobre uma massa (M) colocada no outro prato da balança, resultando na igualdade: M g = I L B; na segunda etapa, a bobina é deslocada com uma velocidade (v) constante na região de B, que lhe induz uma voltagem V = v L B. Eliminando-se LB entre as duas medidas, resulta que: V I = M g v. Esta equação indica uma igualdade entre duas potências: elétrica (VI) e mecânica (energia potencial na unidade de tempo: M g h/t = M g v). É oportuno destacar que a igualdade entre as potências destacada acima é apenas virtual, pois ela envolve grandezas (V, I, v) que são medidas em diferentes fases e não considera a perda de potência (p.e.: fricção mecânica) devido ao deslocamento da bobina. Ela é apenas uma igualdade dimensional. Os primeiros resultados da BW foram apresentados, em 1976 [B. J. Kibble, IN: J. H. Sanders and A. H. Wapstra, Atomic Masses and Fundamental Constants, V5 (Plenum Press, p. 545)]; em 1988 (NPL Report DES 88) e 1990 (Metrologia  27, p. 173), por Kibble, I. A. Robinson e J. H. Belliss; e, em 1991 (Proceedings of the IEE A138, p. 187), por Kibble. [Arlie Bailey, Units, Standards and Constants. IN: Laurie M. Brown, Abraham Pais and Sir Brian Pippard (Editors), Twentieth Century Physics II (Institute of Physics Publishing and American Institute Physics Press, 1995); Michael Stock, Watt Balances and the Future of the Kilogram (Simposio de Metrología, Centro Nacional de Metrología (CENAM), 25-27 Octubre 2006, México)].

                   Da expressão resultante da BW, pode-se definir o quilograma por intermédio da equação: M = V I/g v. Por outro lado, segundo a lei de Ohm (vide verbete nesta série), tem-se: V = R I, portanto: M = [V2/(R)]/(g v). As unidades de g e v valem, respectivamente, m/s2 e m/s, então: g v = (m/s)2/s. Ora, conforme vimos nos dois verbetes anteriores, as unidades de m e s, em função de constantes físicas [respectivamente: velocidade da luz (c) no vácuo e transições quânticas do átomo de césio-133 (55Cs133)], já estão definidas. Portanto, para encontrar a definição de quilograma em função de constantes físicas, deveremos procurar a relação de V (potencial elétrico) e de R (resistência elétrica) com alguma constante física. Tal relação (com h e e) foi conhecida por intermédio do EF e do EK, segundo referimos acima. O EJ reproduz uma voltagem (V) na passagem de uma corrente contínua (CC) ou alternada (CA) através de uma junção entre dois supercondutores irradiada com microondas de frequência f, voltagem essa que é dada pela expressão: V = n f/KJ, com     n = 1, 2, 3, .. ., sendo KJ = 2e/h, chamada constante de Josephson. Por sua vez, o EK reproduz uma resistência elétrica (R) usando o fluxo de um gas de elétrons bi-dimensional em um campo magnético forte, dada pela expressão R = RK/i, onde i = 1, 2, 3, ..., sendo RK = h/e2 (= μoc/2α; α.  1/137, é a constante de estrutura fina e μo é a permeabilidade magnética do vácuo), denominada de constante de von Klitzing. 

                   Usando os valores de V e de R vistos acima, poderemos encontrar que: V2/R = (n f/KJ)2/(RK/i) e, então: M = h [(i n2/4) f2 /(g v)] = h [CJK f2/(g v)]. Ora, como CJK é uma constante numérica e a unidade da expressão f2/(g v) vale (1/s2)/[ (m/s)2/s] = 1/(m2 s) - que depende das unidades de metro (m) e segundo (s) já padronizadas (vide os verbetes anteriores) -, a padronização da unidade SI de M [quilograma (kg)] depende apenas de h. Essa padronização discutida por ocasião do Royal Society Discussion Meeting: The new SI, ocorrido entre 24-25 de janeiro de 2011, conforme se pode ver no trabalho intitulado The watt balance: determination of the Planck Constant and redefinition of the kilogram apresentado, nessa Reunião, pelo físico alemão Michael Stock, do Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). Assim, em vista da dependência de M com h, então, uma possível definição de quilograma será: - A unidade de massa, o quilograma, é tal que a constante de Planck (h) tem, exatamente, o seguinte valor:

 

h = (6,62606896 0,00000033) 10-34 J.s (= kg.m2/s).

  

                   É interessante destacar que a dependência de RK com h e e (= h/e2) foi confirmada e refinada em setembro de 2011 (New Journal of Physics 13, no. 093026) por T. J. B. M. Janssen, N. E. Fletcher, R. Goebel, J. M. Williams, A. Tzalenchuk, R. Yakimova, S. Kubatkin, S. Lara-Avila e V. I. Falko realizando uma experiência na qual calcularam a resistência elétrica (R) do grafeno (ver verbete nesta série) e da heteroestrutura GaAs/AGaAs (ver verbete nesta série), e encontraram o seguinte resultado: (RhRg)/RK = (- 4,7  8,6 )10-11.

                   Por fim, concluindo este verbete, vejamos a definição especulativa de quilograma, ainda usando o site sobre essa unidade de massa. Com efeito, em 1905 (Annalen der Physik 17; 18, p. 891; 639), o físico germano-suíço-norte-americano Albert Einstein (1879-1955; PNF, 1921) propôs que um corpo em repouso (de massa m0) possui energia dada por: E0 = m0c2. Por outro lado, em 1900 (Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, p. 237), o físico alemão Max Karl Ernest Planck (1858-1947; PNF, 1918) propôs que a energia (E) de uma radiação é dada por: E = h ν, onde ν é a frequência da radiação, dada em Hz [= número de oscilações por segundo (1/s)]. Assim, levando esses valores na expressão de E0, teremos: hν0 = m0c2 e, portanto,  m0 = h ν/c2. Assim, usando o SI, podemos escrever que:

 

m0 = 6,62606896  10-34 joule.segundo (J.s = kg.m2/s) hertz (Hz

 

=1/s)/{[299.792.4582 (= m2/s2)]} kg.

 

                   Dessa expressão, podemos dizer que: - O quilograma é massa de repouso cuja energia corresponde a exatos: 299.792.45826,6260689610-34 Hz. É interessante notar que, em 2006 (Mohr, Taylor and Newell, op. cit.), o CODATA encontrou que: h = (6,62606896 0,00000033) 10-34 J.s.

                   Sobre a definição acima, é oportuno fazer o seguinte comentário. Ela é baseada na conjectura (vide verbete nesta série) de que um corpo em repouso (com m0) tem também associado a ele uma onda debroglieana de repouso (de frequência ν0) e momento linear de repouso dado por p0 = h/λ0 = hc0.