CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Filardo Bassalo
www.bassalo.com.br

A Coerência, a De(s)coerência e a Dinâmica de Sistemas Físicos Quânticos Não Lineares.

 

Neste verbete, trataremos da coerência, da de(s)coerência e da dinâmica de sistemas físicos dissipativos representados por Equações de Schrödinger Não-Lineares (ESN-L), tais como: 1) Equação de Bialynicki-Birula-Mycielski; 2) Equação de Bateman-Caldirola-Kanai; 3) Equação de Diósi-Halliwell-Nassar; 4) Equação de Kostin; 5) Equação Schuch-Chung-Hartmann; 6) Equação de Süssmann-Hasse-Albrecht-Kostin-Nassar; 7) Equação de Schrödinger-Nassar do Elétron Estendido; e 8) Equação de Gross-Pitaesvski.        

                   Primeiro, vejamos cada uma dessas equações. Em 1976 [Annals os Physics (New-York) 100, p. 62] e, em 1979 (Physica Scripta 20, p. 539), os poloneses, o físico Iwo Bialyniciki-Birula (n.1933) e o matemático Jan Mycielski (n.1932) propuseram uma ESN-L para descrever sistemas físicos, conhecida como a Equação de Bialynicki-Birula-Mycielski (EBB-M):

 

,

 

onde  e V(x, t) representam, respectivamente, a função de onda schrödingeriana (vide verbete nesta série) e o potencial dependente do tempo do sistema em consideração,  é uma constante, e (*) significa o complexo conjugado.

                   Em 1931 (Physical Review 38, p. 815), 1941 (Nuovo Cimento 18, p. 393) e 1948 (Progress in Theoretical Physics 3, p. 440), os físicos, o norte-americano H. Bateman, o italiano Piero Caldirola (1914-1984) e o japonês E. Kanai propuseram, respectivamente, uma ESN-L para descrever sistemas físicos, conhecida como a Equação de Bateman-Caldirola-Kanai (EB-C-K):

 

,

 

onde , V(x, t) e  apresentam os mesmos significados da EBB-M.

                   Em 1998 (Physical Review Letters 81, p. 2846), os físicos, o húngaro Lajos Diósi (n.1950) e o inglês Jonathan Halliwell propuseram uma ESN-L para descrever sistemas físicos dependentes do tempo, dada pela expressão:

 

 

,

 

onde , V(x, t) e  apresentam o mesmo significado da EBB-M, X (t) é a posição de uma partícula clássica submetida ao potencial V(x, t), q (t) = <x>, e a é constante.

                   Contudo, como essa Equação de Diósi-Halliwell não é normalizada, para então normalizá-la, em 2004 [Chaotic Behavior of a Wave Packet under Continuous Quantum Mechanics (UFPA/preprint)], o físico brasileiro Antonio Boulhosa Nassar (n.1953), propôs a seguinte equação:  

 

 

,

 

onde  é uma constante. Esta equação, conhecida como Equação de Diósi-Halliwell-Nassar (ED-H-N) representa a Equação de Schrödinger para Medidas Quânticas Contínuas.

                   Em 1972 (Journal of Chemical Physics 57, p. 3539), M. D. Kostin propôs uma ESN-L para descrever sistemas físicos não conservativos, dada por:

 

,

 

onde , V(x, t),  e (*) têm os mesmos significados da EBB-M. Essa equação é conhecida como Equação de Kostin (EK).

                   Em 1983 e 1984 (Journal of Mathematical Physics 24; 25, p. 1652; 3086), os físicos D. Schuch e K. M. Chung, e o químico alemão Hermann Hartmann (1914-1984) apresentaram uma ESN-L para estudar sistemas físicos dependentes do tempo, com a seguinte forma:

 

 

,

 

onde , V(x, t) e  têm os mesmos significados da EBB-M. Essa equação é conhecida como Equação de Schuch-Chung-Hartmann (ES-C-H).

                   Em 1973 (Seminar Talk at Los Alamos), D. Süssmann e, independentemente, em 1975, R. W. Hasse (Journal of Mathematical Physics 16, p. 2005), K. Albrecht (Physics Letters B56, p. 127) e Kostin (Journal of Statistical Physics 12, p. 146) propuseram uma ESN-L, que foi generalizada por Nassar, em 1986 (Journal of Mathematical Physics 27, p. 2949), conhecida como Equação de Süssmann-Hasse-Albrecht-Kostin-Nassar (ES-H-A-K-N), destinada a estudar sistemas físicos dissipativos, e representada por:                     

 

 

,

 

onde , V(x, t), e  têm os mesmos significados da EBB-M, e q(t) = <x>. Além disso, c é uma constante, com os valores: c = 1, para Süssmann; c = ½, para Hasse; c = 0 para Albrecht e Kostin, e = - , é o operador momento linear.

                   Em 2007 (International Journal of Theoretical Physics 46, p. 548), Nassar propôs uma ESN-L para estudar a dinâmica do elétron linear estendido, e que tem o seguinte aspecto:

 

,

 

onde , sendo  e  funções de onda schrödingerianas, e c a velocidade da luz no vácuo.

                   Registre-se que essa Equação de Schrödinger-Nassar do Elétron Estendido (ES-NEE) é uma versão quântica do estudo realizado, em 1892 (Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturales 25, p. 363), pelo físico holandês Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928; PNF, 1902) e, em 1905 [Theorie der Elektrizitat II (Leipzig, Teubner)], pelo físico alemão Max Abraham (1875-1922) ao mostrarem que quando um elétron, de massa (m) e de carga elétrica (e) é acelerado, existem forças adicionais atuando sobre esse elétron devido ao seu próprio campo elétrico. Por sua vez, em 1904 (Akademie van Wetensch te Amsterdam 13), o físico alemão Arnold Joahnnes Wilhelm Sommerfeld (1868-1951) e, em 1918 (Physical Review 11, p. 376), L. Page corrigiram as dificuldades apresentadas pela Força de Lorentz-Abraham, isto é, as soluções descontraladas apresentadas pela mesma quando o elétron está livre, assumindo que o elétron não-relativístico é estendido, ou seja, tem uma dimensão L com sua carga distribuída uniformemente sobre sua superfície.

                   Por fim, em 1961, o físico norte-americano Eugene P. Gross (1926-1991) (Nuovo Cimento 20, p. 1766) e, independentemente, o físico russo Lev Petrovich Pitaevskii (n.1933) [Soviet Physics (JETP) 13, p. 451] propuseram uma ESN-L para descrever sistemas físicos não conservativos, representada pela equação:

 

,

 

onde , V(x, t) e  têm os mesmos significados da EBB-M. Essa equação é conhecida como Equação de Gross-Pitaevskii (EG-P).

                   Apresentadas as ESN-L, vejamos agora como saber a coerência ou a de(s)coerência de cada uma dessas equações. Para isso, teremos que estudar a sua dinâmica por intermédio da Mecânica Quântica de de Broglie-Bohm (MQB-B). Vejamos como fazer esse estudo. Inicialmente, vamos considerar a seguinte transformação: , proposta pelos físicos, o alemão Erwin Madelung (1881-1972), em 1926 (Zeitschrift für Physik 40, p. 332), e o norte-americano David Joseph Bohm (1917-1992), em 1952 (Physical Review 85, p. 166; 180), onde S(x,t) é a ação clássica, e  é definida pela seguinte correspondência: , o que significa ser a densidade de probabilidade quântica  densidade quântica de massa. Além disso, definiremos a velocidade quântica [] por:  = . É interessante destacar que como a MQB-B é uma teoria causal ela admite uma velocidade [] e, portanto, uma trajetória [x(t)] [lembrar que: ] que se deve ao potencial quântico de Bohm definido por: .    

                   Assim, ao aplicar a transformação de Madelung-Bohm em cada ESN-L resulta em uma equação complexa. Ao tomar a parte imaginária da mesma, e fazendo algum algebrismo, chegamos a uma expressão conhecida como equação da continuidade (EC) ou lei de conservação da massa (LCM), característica da Dinâmica dos Fluidos. Essa equação caracteriza a coerência ou a de(s)coerência do sistema físico dissipativo (dependente do tempo) representado por cada ESN-L, quando ela é, respectivamente, homogênea ou não-homogênea. Por outro lado, a parte real da equação complexa acima referida (que envolve o VQ-B), representa a expressão analítica da Equação da Dinâmica (Segunda Lei Geral de Newton). Agora, vejamos a EC/LCM para cada ESN-L que vimos neste verbete, cujos detalhes de seu cálculo analítico podem ser vistos em: José Maria Filardo Bassalo e Mauro Sérgio Dorsa Cattani, Elementos de Física Matemática 3: Equações Integrais, Integrais de Caminho e Propagadores de Feynman (Livraria da Física, em fase de publicação).

                   Então, para as ESN-L vistas acima, temos:

 

1) Equação de Bialynicki-Birula-Mycielski (coerente): 

 

    1.1) Equação da Continuidade:  

         

;

     

     1.2) Equação de Newton Não-Dissipativa:

 

 

,

 

onde  é a força clássica de Newton,  é a força quântica de Bohm, e  é a força quântica de Bialynicki-Birula-Mycielski, sendo  o potencial quântico de Bialynicki-Birula-Mycielski.

 

2)  Equação de Bateman-Caldirola-Kanai (coerente):

 

      2.1) Equação da Continuidade:  

 

;

 

onde , é a velocidade quântica de Bateman-Caldirola-Kanai;

 

       2.2) Equação de Newton Dissipativa:

 

 

,

 

onde  é a força clássica de Newton, e  é a força quântica de Bateman-Caldirola-Kanai, sendo  o potencial quântico de Bateman-Caldirola-Kanai.

 

3) Equação de Diósi-Halliwell-Nassar [de(s)coerente]:

 

     3.1) Equação da Continuidade:

 

;

     3.2)  Equação de Newton Não-Dissipativa:

 

 

,

 

onde  é a força clássica de Newton,  é a força quântica de Bohm, e FE(t) = -  é a força linear externa.

 

4) Equação de Kostin  (coerente):

 

     4.1) Equação da Continuidade:

 

;

 

     4.2) Equação de Newton Dissipativa:

 

 

,

 

onde  é a força clássica de Newton,  é a força quântica de Bohm, e  é o coeficiente de fricção (atrito).

 

5) Equação Schuch-Chung-Hartmann [de(s)coerente]:

 

     5.1) Equação da Continuidade:

 

;

 

   

 

 

 

     5.2) Equação de Newton Dissipativa:

 

 

,

 

onde  é a força clássica de Newton,  é a força quântica de Bohm, e  é o coeficiente de fricção (atrito).

 

6) Equação de Süssmann-Hasse-Albrecht-Kostin-Nassar (coerente):

 

     6.1) Equação da Continuidade:

 

,

 

onde:  é a velocidade quântica modificada;

 

     6.2) Equação de Newton Dissipativa:

 

 

,

 

onde  é a força clássica de Newton,  é a força quântica de Bohm, e  é o coeficiente de fricção (atrito).

 

7) Equação de Schrödinger-Nassar do Elétron Estendido (coerente):

 

     7.1) Equação da Continuidade:

 

;

 

     7.2) Equação de Newton Dissipativa:

 

 =

 

,

 

onde  é a força quântica de Bohm, c  é a velocidade da luz no vácuo, e L é a dimensão do elétron estendido.

 

8) Equação de Gross-Pitaesvski (coerente):

 

     8.1) Equação da Continuidade:

 

;

 

     8.2) Equação de Newton Não-Dissipativa:

 

 

,

 

onde  é a força clássica de Newton,  é a força quântica de Bohm, e =  é a força de Gross-Pitaevskii.

 

                   Na conclusão deste verbete, faremos um breve comentário sobre a de(s)coerência quântica (DQ). Na Mecânica Quântica, a DQ ocorre quando há perda da coerência dos ângulos de fase entre os componentes de um sistema em uma superposição quântica. Em consequência, essa defasagem leva a um comportamento clássico ou probabilístico. A DQ não gera o colapso real da função de onda schrödingeriana, ela apenas dá uma explicação para um aparente colapso. A teoria da DQ começou a ser desenvolvida, em 1981 (Physical Review D24, p. 1516), pelo físico polonês Wojciech Hubert Zurek (n.1951) e, a partir daí, ele continuou a desenvolver a DQ e suas inúmeras aplicações como, por exemplo, a Física Clássica e Quântica da Informação e seu “Santo Graal”: a computação quântica. Note que esta requer que estados quânticos coerentes sejam preservados e os de(s)coerentes sejam manejados. Para um estudo mais detalhado desse trabalho de Zurek, bem como da DQ, ver: Gennaro Auletta, Foundations and Interpretation of Quantum Mechanics (World Scientific, 2001); en.wikipedia.org/wiki/Quantum_decoherence.             

                   Por fim, é oportuno destacar que antes do entendimento da DQ, a Mecânica Quântica Ortodoxa, representada pela Interpretação de Copenhagen, assume que o colapso da função de onda é um processo a priori. Contudo, a Mecânica Quântica de de Broglie–Bohm (MQBB), iniciada em 1952, conforme vimos acima, desenvolve um mecanismo que explica o aparente colapso da função de onda. Por outro lado, note que a de(s)coerência quântica aparece somente na equação da continuidade que envolve a densidade de probabilidade [] e não na fase, pois esta é afetada apenas indiretamente, conforme se pode ver na transformação de Madelung-Bohm, ou seja:  Para detalhes da MQBB, ver: José Maria Filardo Bassalo, Paulo de Tarso Santos Alencar, Mauro Sérgio Dorsa Cattani, e Antonio Boulhosa Nassar, Tópicos de Mecânica Quântica de de Broglie-Bohm (EdUFPA, 2002); e-book: http://publica-sbi.if.usp.br/PDFs/pd1655.pdf (2010); e artigos desses autores (com a colaboração de Daniel Gemaque da Silva) no arXiv.org (2009a-d; 2010a-d; 2011).