CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Filardo Bassalo
www.bassalo.com.br

As Integrais Elípticas e as Integrais Eulerianas de Primeira (Função Beta) e Segunda (Função Gama) Espécies.

 

Em alguns verbetes desta série, vimos que os cálculos da quadratura (áreas de figuras) e da cubatura (volumes de sólidos) contribuíram para o desenvolvimento do hoje conhecido Cálculo Integral. Por outro lado, o estudo do comportamento geométrico de curvas (p.e.: concavidade, pontos de máximo e de mínimo, pontos de inflexão etc.) levou ao desenvolvimento do hoje conhecido Cálculo Diferencial. Para esse desenvolvimento, muitos matemáticos contribuíram como, por exemplo, o grego Arquimedes de Siracusa (287-212), o alemão Johannes Kepler (1571-1630), o italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647), o francês Pierre Fermat (1601-1665), os ingleses John Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Sir Isaac Newton (1642-1727), o alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e os irmãos suíços James (Jakob, Jacques) Bernoulli (1654-1705) e John (Johann, Jean) Bernoulli (1667-1748). Para detalhes, ver: Carl B. Boyer, A History of Mathematics (John Wiley and Sons, 1968); Dirk Jan Struik, A Source Book in Mathematics, 1200-1800 (Harvard University Press, 1969); Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Oxford University Press, 1972).

                   Outro tipo de problema que também contribuiu para o desenvolvimento do Cálculo (Diferencial e Integral) foi o da retificação de curvas, isto é, a determinação do comprimento de arcos das curvas. Esse era um problema um pouco mais complicado, uma vez que os matemáticos que estavam interessados nesse tipo de questão eram obrigados a procurar curvas, cuja retificação reduzia-se a problema de quadraturas de curvas conhecidas. Assim, por volta de 1650, quase ninguém acreditava que o comprimento de uma curva poderia ser exatamente igual ao comprimento de uma linha reta, ou seja, que uma curva pudesse ser retificada. Uma das primeiras curvas a ser retificada foi a parábola cúbica (y = x3), de maneira independente, pelos matemáticos, o inglês William Neil (1637-1670), em 1657, e o holandês Hendrik van Heuraet (1633-c.1660), em 1658. Ainda em 1658, o arquiteto e matemático inglês Sir Christopher Wren (1632-1723) retificou a ciclóide. É oportuno destacar que esta curva já havia sido antes retificada pelo matemático francês Gilles Personne de Roberval (1602-1675), porém não a tornou pública. Os cálculos de retificação de curvas foram apresentados por Wallis em seu livro Tractatus Duo, Prior de Cycloide, Posterior de Cissoide (“Dois Tratados, o Primeiro sobre a Ciclóide, e o Segundo sobre a Cissóide”), de 1659. Em notação atual, o comprimento elementar (ds) de um arco de curva é dado por: ds2 = dx2 + dy2.   

              A questão da retificação de curvas foi retomada pelo matemático italiano Giulio Carlo di Fagnano, Marquês de Toschi (1682-1766), entre 1714 e 1718, em uma série de artigos publicados no Giornali dei Letterati d´Italia (números 19-30) sobre a retificação de algumas curvas (elipse, hipérbole, ciclóide e lemniscata) tratadas pelos irmãos Bernoulli, nos quais mostrou que a retificação não poderia ser feita por meio de funções elementares, já que ela envolvia radicais. Em 1750, ele reuniu esses trabalhos no livro Produzioni Matematiche (“Produções Matemáticas”). Quando esse livro foi recebido pela Academia de Berlim, em 1751, o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) foi solicitado para dar um parecer.  Ao lê-lo, logo percebeu a importância de seu conteúdo para a integração de equações diferenciais envolvendo radicais. Assim, começou uma série de trabalhos sobre esse assunto e que foram comunicados à Academia Petropolitana, entre 1756 e 1759 [Novi Commentarii Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae (1756-1757) 6, p. 37; 58; Novi Commentarii Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae (1758-1759) 7, p. 3]. Nesses trabalhos, Euler deduziu um resultado importante hoje conhecido como Teorema da Adição das Integrais Elípticas:            

 

,

 

onde R[x(y)] é um polinômio do quarto grau, sendo que cada uma dessas integrais é dada por arcos de cônicas [círculo, elipse, parábola e hipérbole, descobertas por matemático grego Apolônio de Perga (c.261-c.190)] ou lemniscata. No entanto, essa descoberta de Euler – realizada quase por acaso – permitiu-lhe comparar não apenas aqueles arcos, mas, também, arcos de curvas transcendentais dadas por , com P(x) sendo uma função racional e R(x) um polinômio do quarto grau.

                  Contudo, essa descoberta de Euler sobre as Integrais Elípticas (IE) apresentava dificuldades, pois se restringia apenas a considerações geométricas, segundo o próprio Euler destacou no Volume I de seu tratado Instituitiones Calculi Integralis (“Livros sobre Cálculo Integral”), composto de três volumes, publicados entre 1768 e 1770. O estudo analítico das IE foi conduzido pelo matemático francês Adrien Marie Legendre (1752-1833) em uma série de trabalhos realizados entre 1768 e 1826 e que foram reunidos no tratado intitulado Traité des Fonctiones Elliptiques (“Tratado das Funções Elípticas”), composto de dois volumes publicados em 1825 e 1826. É oportuno destacar que, embora Legendre usasse o termo função elíptica, havia um pouco de controvérsia em torno do mesmo. O conceito atual de função elíptica foi introduzido pelos matemáticos, o norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829), em 1826 (somente publicado em 1841, no Mémoires de Sçavans Étrangers 7, p. 176), e o alemão Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851), em 1829  (Kline, op. cit.). Em notação atual, as IE são de três espécies, respectivamente definidas por:

 

;    ;     ,

 

onde n é qualquer constante e  , com  0 .  

                   Vejamos, agora, as Integrais Eulerianas. Essas integrais decorreram do estudo do problema da interpolação, isto é, inserir valores em tabelas de funções logarítmicas e trigonométricas, problema esse tratado por Wallis e pelos matemáticos, o escocês James Stirling (1692-1770), o suíço Daniel Bernoulli (1700-1782) (filho de John), e o russo Christian Goldbach (1690-1764), e no qual havia a questão de encontrar uma expressão para calcular o fatorial de um número racional. Para n inteiro, tem-se: n! = 12 3  ...  n. Contudo, para qualquer n, o problema era mais difícil. Por exemplo, em 1730, Stirling publicou o livro intitulado Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitatum (“Método Diferencial com um Tratado sobre Somação e Interpolação de Séries Infinitas”) no qual demonstrou que quando n >> 1, tem-se: n! ~ (n/e)n, onde e é a base dos logaritmos neperianos (ℓn) (ver verbete nesta série). É oportuno destacar que nesse livro Stirling apresentou sua hoje famosa Fórmula de Stirling [fórmula que calcula ℓn (n!)], e que a notação n! foi introduzida pelo matemático francês Christian Kramp (1760-1826) em seu livro Elements d´Arithmétique Universelle (“Elementos de Aritmética Universal”), editado em 1808 (wikipedia/Christian_Kramp).

                   O problema do cálculo de n! foi também objeto de estudo por parte de Euler. Com efeito, em cartas que trocou com Goldbach, em 13 de outubro de 1729 e 08 de janeiro de 1730, Euler discuti a solução desse problema e a formalizou, em 1731, em um trabalho publicado em 1738 [Commentarii Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae (1730-1731) 5, p. 36]. Inicialmente, Euler obteve n! (para n inteiro) por intermédio da integral (Kline, op. cit.):

 

,

 

sendo e um número qualquer. Contudo, para uma expressão de n!, para qualquer valor de n, Euler escreveu que:  

 

.

 

                   É interessante destacar que, apenas em 1771 Euler preparou um trabalho [publicado em 1772 na Novi Commentarii Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae (1771) 16, p. 91], no qual demonstrou a relação entre as duas integrais vistas acima fazendo a seguinte mudança de variável:

 

-ℓn(x) = t   x = e- t ;  x = 0 → t = ∞ ; x = 1 → t = 0,

 

dt = - dx/x    dx = - x dt    dx = - e-t  dt   

 

.

 

                   Ainda no artigo de 1771, Euler demonstrou que existia uma relação entre as duas integrais, denominadas por Legendre em sua obra intitulada Exercices de Calcul Integral (“Exercícios de Cálculo Integral”), constituída de três volumes, editados em 1811 (Volumes I e III) e 1817 (Volume II), de Primeira Integral Euleriana ou Função Beta [B(m, n)] e Segunda Integral Euleriana ou Função Gama [Γ(n+1)] representadas, respectivamente, por (obtidas por Euler, em 1781, segundo Kline, op. cit.):

 

B(m, n) = ;  Γ(n+1) = n! =  ,

 

sendo a relação acima referida dada por [ver a demonstração em: José Maria Filardo Bassalo e Mauro Sérgio Dorsa Cattani, Elementos de Física Matemática I (Livraria da Física, 2010)]:

 

B(m, n) = Γ(m) Γ(n)/Γ(m + n).

 

                   É interessante registrar que Euler mostrou que Γ(n + 1) = n Γ (n), assim como calculou: Γ(1/2), Γ(3/2), Γ(5/2) ... . Por sua vez, o matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855), em 1813 (Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores II), estudou a Γ quando escreveu que: Γ(n + 1) = π (n). Registre-se, também, que a notação B(m, n) [B é a representação maiúscula da letra grega beta (β)] foi dada pelo astrônomo, físico e matemático francês Jacques Philippe Marie Binet (1786-1856) (wikipedia/Beta_function).

                   Para concluir este verbete, é oportuno dizer que a Função Gama Euleriana é uma ferramenta matemática importante para calcular os Diagramas de Feynman em reações envolvendo as partículas mediadoras (fóton, glúon, W+/-, Z0) das interações físicas entre as partículas elementares constituintes da matéria. [Marcelo Otávio Caminha Gomes, Teoria Quântica dos Campos (EDUSP, 2002)].