CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Filardo Bassalo
www.bassalo.com.br

Heisenberg, Kramers, Tomonaga e a Matriz S.

 

Em 1937 (Physical Review 52, p. 1107), o físico norte-americano John Archibald Wheeler (1911-2008) estudou o espalhamento de partículas em Física Nuclear e, nessa ocasião, mostrou que a matriz desse espalhamento, a famosa matriz S (S), deveria apresentar algumas propriedades como, por exemplo, a unitariedade [o produto dela com sua hermitiana simétrica conjugada (S+) deve ser comutativo e formar a matriz unitária 1: SS+ = S+S = 1]. Contudo, apesar de ele realizar os cálculos usando a Mecânica Quântica Não-Relativista, ele achava que a mesma deveria ter a invariância relativística, invariância esta que foi tratada por Heisenberg como veremos a seguir. Com efeito, em outubro de 1943, durante a Segunda Guerra Mundial (SGM), Heisenberg esteve em Copenhague e como a Dinamarca estava ocupada pelos Nazistas, a Universidade de Copenhague estava fechada, e ele se reuniu na casa do físico holandês Hendrik Anthony Kramers (1894-1952), com quem já trabalhara, em um informal colóquio, para discutir sobre um trabalho que concluiu em 09 de setembro de 1942, no qual provou que S era unitária e que poderia ser escrita como: S = exp (i η), onde η é uma matriz hermitiana especial que só conteria elementos observáveis. Nessa discussão, Kramers observou que os elementos de η, os momentos k (= p/), deveriam ser complexos. Depois desse encontro, Kramers e Heisenberg (já de volta a Berlim) ficaram trabalhando nessa nova teoria da matriz S, agora com funções analíticas. No dia 30 de outubro de 1942, Heisenberg concluiu um segundo artigo no qual mostrou que S poderia ser escrita na forma: S = 1 + R, onde R é uma matriz hermitiana. No dia 31 de outubro ele escreveu para Kramers convidando-o para escreverem um artigo juntos sobre a matriz S. Contudo, como a Holanda estava ocupada pelos Nazistas, Kramers recusou a oferta em carta escrita no dia 01 de dezembro de 1943. Em vista disso, Heisenberg escreveu mais dois artigos sobre a S. Os três artigos foram publicados em 1943 (Zeitschrift für Physik 120, p. 513; 673) e 1944 (Zeitschrift für Physik 123, p. 93) e o quarto foi reproduzido somente no Heisenberg Collected Works A2, p. 687, publicado em 1985. Nesses trabalhos, Heisenberg apresentou o tratamento relativístico da matriz unitária S, no qual a amplitude de transição da matriz S (Sif) é dada por Sif ≡ <f│S(k)│i>, onde │i> e │f> representam os estados inicial e final do sistema físico considerado. Ainda nesses trabalhos, Heisenberg mostrou que os zeros da S(k) correspondem a estados estacionários de sistemas ligados ou as energias de partículas elementares individuais.  Note-se que um tratamento análogo a esse foi apresentado também em 1943 (Helvetica Physica Acta 16, p. 427) e 1944 (Helvetica Physica Acta 17, p. 3) pelo físico suíço Ernst Carl Gerlach Stückelberg (1905-1984) e, ainda em 1944 (Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde 11, p. 134), por Kramers. (Cassidy, op. cit.).

                   Sobre esse tratamento de Heisenberg existe um fato curioso. Seus cálculos foram enviados para o Japão em um submarino alemão e entregue ao físico japonês Yoshio Nishina (1890-1951). Em 1947 (Journal of the Physical Society of Japan 2, p. 151), o físico japonês Sin-itiro Tomonaga (1906-1979; PNF, 1965) usou a matriz S para estudar a junção de microondas. [Val L. Fitch and Jonathan L. Rosner, Elementary Particle Physics in the Second Half of the Twentieth Century, IN: Twentieth Century Physics I (Institute of Physics Publishing/American Institute of Physics, 1995)]. É interessante destacar que o trabalho sobre junções de microondas foi também realizado nos Estados Unidos durante a Segunda Guerra Mundial (SGM) (1939-1945), por ocasião em que estavam desenvolvendo o radar [radio detection and ranging (“detecção e telemetria pelo rádio”)], sendo o físico norte-americano Julian Seymour Schwinger (1918- 1994; PNF, 1965) um dos teóricos do grupo do Radiation Laboratory, no Massachusetts Institute of Technology (MIT), que participava daquele desenvolvimento.                                  

                   Note-se que o entendimento da matriz S foi continuado pelo físico dinamarquês Christian Möller (1904-1980). Com efeito, já em 1932 (Annalen der Physik 14, p. 531), ele havia estudado o espalhamento elástico-quântico entre dois elétrons relativistas, conhecido desde então como espalhamento Möller. Em 1945 e 1946 (Köngelige Danske Videnskab Selskab Matematisk-Fysiske Meddelanden 22, p. 1; 23, p. 1), ele investigou a interação de um sistema físico por intermédio da versão relativista da S de Heisenberg-Stückelberg-Kramers, realizada em 1943 e 1944, como vimos acima. Ainda em 1946, o físico chinês Shih-Tsun Ma (1913-1962) (Physical Review 69, p. 668) e o físico neerlandês-britânico Dirk ter Haar (1919-2002) (Physica 12, p. 509) estudaram os estados estacionários decorrentes da continuação analítica da matriz S, ou seja: S (k) = exp [2 i δ (- i k)], onde δ são os deslocamentos de fase (phase shifts). Logo depois, em 1947 (Physical Review 72, p. 29), o físico húngaro norte-americano Eugene Paul Wigner (1902-1995; PNF, 1963) e L. Eisenbud demonstraram que: TST-1 = S-1, onde o operador T vale: T = │ψ, t> = │ψ, - t>.

              Por fim, também em 1947, Ma (Physical Review 71, p. 195) e o físico suíço Res Jost (1918-1990) (Helvética Physica Acta 20, p. 256) mostraram que existem alguns zeros da S (k) que não correspondem a estados estacionários ou a partículas elementares. Como Jost era assistente do físico alemão Wolfgang Pauli (1900-1958; PNF, 1945) depois que ele voltou para a Universidade de Zurique, em 1946, e Ma tinha sido aluno de Pauli [quando este foi Professor Visitante no Instituto de Física Avançada (IFA), em Princeton, New Jersey, nos Estados Unidos da América (USA), entre 1935 e 1936], esse resultado obtido, independentemente por eles, confirmou a decisão (acreditamos!) de Pauli de ele haver renunciado ao formalismo da matriz S em um Congresso, promovido pela Sociedade Britânica de Física, que aconteceu em Cambridge, em 1946. (Cassidy, op. cit.; Piza, op. cit.).