SEARA DA CIÊNCIA
CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Bassalo


Hamilton, Maxwell, Heaviside, Gibbs e a Análise Vetorial.
O operador nabla () bastante usado no Cálculo Vetorial, foi utilizado pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton (1805-1865), em seu célebre livro intitulado Lectures on Quaternions, publicado em 1853. Esse símbolo, que é o delta grego invertido, foi denominado por Hamilton de nabla porque se parece com um antigo instrumento musical hebreu, que tinha esse mesmo nome. Tal operador, hoje denominado de gradiente, tem a seguinte representação, em um sistema de coordenadas cartesianas:

,

onde representam, respectivamente, os versores dos eixos coordenados cartesianos.

Por intermédio da aplicação desse operador diferencial sobre uma função de ponto vetorial [], Hamilton obtinha o seu quatérnio, constituído de uma parte escalar (S) e de uma parte vetorial (V), assim definidos (notação atual):

.

O físico e matemático escocês James Clerk Maxwell (1831-1879), em seu famoso livro intitulado A Treatise on Electricity & Magnetism, publicado em 1873, utilizou os quatérnios Hamiltonianos, porém nas suas formas separadas, para as quais deu as seguintes notações: (a parte escalar de ) e (a parte vetorial de ). Por outro lado, Maxwell chamou a parte escalar de convergência, uma vez que a mesma já havia aparecido muitas vezes no estudo da Hidrodinâmica, pois, quando é a velocidade de um fluido, representa o fluxo ou a quantidade líquida por unidade de volume e por unidade de tempo que flui através de um orifício. A parte vetorial () recebeu de Maxwell o nome de rotação ou rotacional, pois a mesma representa duas (2) vezes a taxa de rotação de um fluído em um ponto, quando representa a velocidade desse fluido em escoamento. [É oportuno registrar que, mais tarde, o matemático e filósofo inglês William Kingdon Clifford (1845-1879) - o inventor da Teoria dos Biquatérnios - chamou - de divergência.] A repetição do operador , isto é, 2, recebeu de Maxwell o nome de operador de Laplace. Este, por sua vez, quando aplicado a uma função escalar (p.e., q), representa o excesso do valor dessa função em um dado ponto, sobre o seu valor médio na vizinhança. Em vista disso, Maxwell chamou de concentração a essa nova função 2q. [Note-se que o matemático inglês Robert Murphy ( ? - 1843) introduziu, em 1833, a notação D para representar 2, segundo nos conta o matemático norte-americano Morris Kline (1908-1992), em seu livro Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Oxford University Press, 1972).]

Em 1871, Maxwell fez três grandes demonstrações (na notação atual):

,,,

onde: significa o "gradiente" da função escalar , e , significam, respectivamente, a "divergência", o "rotacional" e o "laplaciano" da função vetorial .

É oportuno ainda registrar que no livro de Maxwell citado acima, ele sintetiza as leis experimentais do Eletromagnetismo em quatro equações diferenciais, as famosas Equações de Maxwell e, com elas, conseguiu a unificação da Óptica, da Eletricidade e do Magnetismo, ao demonstrar que: A luz é uma onda eletromagnética. Aliás, parece haver sido o físico inglês Michael Faraday (1791-1862) quem chamou a atenção de Maxwell sobre a existência de uma relação íntima entre os fenômenos eletromagnéticos e ópticos.

Apesar da grande divulgação da Teoria dos Quatérnios, principalmente pelo físico e matemático inglês Peter Guthrie Tait (1831-1901) que, em seus artigos encorajava os físicos a usarem essa ferramenta matemática Hamiltoniana, eles continuavam a preferir escrever suas equações em componentes cartesianas, até que o físico e químico norte-americano Josiah Williard Gibbs (1839-1903) e, independentemente, o físico e engenheiro eletricista inglês Oliver Heaviside (1850-1925), nas duas últimas décadas do Século 19, desenvolveram a Análise Vetorial envolvendo novos entes matemáticos, os vetores, não mais constituintes de um quatérnio, e sim uma grandeza matemática independente, e denotada por (na notação atual): , e com as hoje conhecidas operações de Álgebra (produtos escalar e vetorial) e Análise (gradiente, divergência, rotacional e laplaciano) Vetoriais. Gibbs, por exemplo, entre 1881 e 1884, distribuía privadamente entre seus estudantes um pequeno panfleto intitulado Elements of Vector Analysis. Por sua vez, Heaviside, nos anos da década de 1880, escreveu artigos no jornal Electrician nos quais usava a Análise Vetorial. Em um desses artigos, escrito em 1885, ele demonstrou, usando essa Análise, o Teorema da Conservação da Energia Eletromagnética, que havia sido demonstrado pelo físico inglês John Henry Poynting (1852-1914), em 1883. Em 1893, Heaviside escreveu seu famoso livro intitulado Electromagnetic Theory no qual apresentou a formulação matemática do Eletromagnetismo, inclusive as célebres Equações de Maxwell, na linguagem dos operadores diferenciais vetoriais.