SEARA DA CIÊNCIA
CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Bassalo


A Versão Relativista da Equação de Schrödinger. .
Antes de escrever os seus célebres trabalhos que deram início ao estudo da Mecânica Quântica Não-Relativista do Elétron, o físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961; PNF, 1933) tentou fazer uma descrição relativista do elétron no átomo de hidrogênio (H). No entanto, como não conseguiu com a mesma os resultados que o físico alemão Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld (1868-1951) havia obtido, em 1916 (Sitzungsberichte Bayerischen Akademie Wissenschaften zu München, p. 459) para os níveis de energia do H, Schrödinger desencorajou-se e, temporariamente, abandonou esses estudos, que mais tarde foram encontrados em um livro de notas, sob o título H-Atom, Eigenschwingungen, provavelmente, escrito em dezembro de 1925, segundo nos conta o físico-químico norte-americano Walter John Moore (n.1918) no livro A Life of Erwin Schrödinger (Cambridge University Press, 1994). Ainda segundo esse livro, Schrödinger teria usado a Tese de Doutorado do físico francês, o Príncipe Louis Victor Pierre Raymond de Broglie (1892-1987; PNF, 1929), apresentada à Faculdade de Ciências da Universidade de Paris, em 1924, com o título: Recherche sur la Théorie des Quanta.

Depois dessa frustrada pesquisa, Schrödinger voltou a trabalhar nesse mesmo assunto, porém, desta vez, tratando o movimento do elétron como não-relativista. Em seis artigos publicados nos Annales de Physique Leipzig 79, pgs. 361; 489; 734; 747; 80, p. 437; e 81, p. 136, todos em 1926 e sob o título Quantisierung als Eigenwertproblem, Schrödinger desenvolveu a hoje conhecida Mecânica Quântica Ondulatória, cujo principal resultado é uma equação para as órbitas estacionárias dos elétrons do átomo de hidrogênio, a famosa equação de Schrödinger:

,

onde é conhecida como função de onda de Schrödinger. Registre-se que Y foi interpretada, em 1926 (Zeitschrift für Physik 37; 38, pgs. 863; 803), como uma amplitude de probabilidade pelo físico alemão Max Born (1882-1970; PNF, 1954).

Para obter os níveis de energia E (autovalores) do átomo H por intermédio da equação acima, Schrödinger utilizou as técnicas matemáticas encontradas no livro Methoden der Matematischen Physik dos matemáticos alemães Richard Courant (1888-1972) e David Hilbert (1862-1943), publicado em 1924. Ao encontrar um aspecto discreto de energias, idêntico ao obtido pelo físico dinamarquês Niels Henrik David Bohr (1885-1962; PNF, 1922) em seu célebre modelo atômico formulado em 1913, Schrödinger observou que a quantização da energia decorria, automaticamente, de sua formulação matemática. Aliás, o título de seus trabalhos - Quantização como um problema de autovalores - sintetiza os resultados por ele obtidos.

É interessante registrar que no artigo publicado nos Annales 79, p. 734, Schrödinger demonstrou o isomorfismo entre a sua Mecânica Ondulatória (MO) e a Mecânica Matricial (MM) que Born, e os físicos alemães Werner Karl Heisenberg (1901-1976; PNF, 1932) e Ernst Pascual Jordan (1902-1980) haviam desenvolvido entre 1924 e 1925. O primeiro trabalho sobre a MM foi realizada por Born, em 1924 (Zeitschrift für Physik 26, p. 379), ao apresentar um novo tratamento para as "quantidades de transição" da Teoria Quântica Planckiana. Em 1925 (Zeitschrift für Physik 33, p. 879), Heisenberg mostrou que as "quantidades de transição Bornianas" satisfaziam a uma álgebra não-comutativa, álgebra essa que foi identificada por Born como sendo a Álgebra Matricial desenvolvida pelo matemático inglês Arthur Cayley (1821-1895), em 1858. Em 1925 (Zeitschrift für Physik 34, p. 858), Born e Jordan mostraram que as "quantidades de transição" correspondiam aos quadrados das amplitudes de vibração dos "osciladores harmônicos Planckianos". Nesse mesmo trabalho, Born e Jordan demonstraram, pela primeira vez, a famosa relação de comutação entre as matrizes p e q, correspondentes ao momento linear e a posição de uma partícula quântica, isto é: , onde é a matriz unitária. Registre-se, também, que o isomorfismo entre MO e MM foi demonstrado, independentemente, pelo físico norte-americano Carl Eckart (1902-1973), ainda em 1926 (Physical Review 28, p. 711). Aliás, o físico austro-suíço Wolfgang Pauli Junior (1900-1958; PNF, 1945), ainda em 1926, escreveu uma carta a Jordan na qual dizia haver demonstrado esse formalismo.

Voltemos à versão relativista da equação de Schrödinger (ES). Logo que houve a publicação dessa equação, que descrevia o movimento de uma partícula em uma região de potencial V(x, y, z), vários físicos tentaram obter a sua versão relativista. O primeiro deles foi o físico sueco Oskar Benjamin Klein (1895-1977), em abril de 1926 (Zeitschrift für Physik 37, p. 895). Em junho de 1926 (Zeitschrift für Physik 38, p. 242), o físico russo Valdimir Alexandrovich Fock (1898-1974) apresentou um tratamento relativístico do movimento Kleperiano dos corpos de acordo com a Mecânica Ondulatória.

Uma dedução formal da equação do movimento relativista de uma partícula (de massa de repouso m, de velocidade v e momento linear p=mv) foi realizada por de Broglie, em julho de 1926 (Comptes Rendus à l´Academie des Sciences de Paris 183, p. 447) . Ele partiu da equação relativista da energia () e usou as seguintes substituições (aliás, sugeridas por Schrödinger): e , com . Em setembro de 1926 (Zeitschrift für Physik 40, p. 117), o físico alemão Walter Gordon (1893-1940) chegou ao mesmo resultado de de Broglie, ao fazer o tratamento relativista do efeito Compton, este conhecido desde 1923. Essa equação relativista é hoje conhecida como equação de Klein-Fock-Gordon (EK-F-G) (em notação atual):

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É oportuno acrescentar que, ainda em 1926, essa equação foi obtida, independentemente, pelo químico belga Théophile de Donder (1872-1957) e H. van den Dungen (Comptes Rendus à l´Academie des Sciences de Paris 183, p. 22), por Schrödinger (Annales de Physique Leipzig 81, p. 109) e J. Kudar (Annales de Physique Leipzig 81, p. 632). Ainda é interessante acrescentar que Pauli, por volta de abril de 1926, havia demonstrado a EK-F-G, porém, como ela não era consistente com a equivalência entres as duas Mecânicas, a Ondulatória e a Matricial (equivalência essa que ele próprio havia demonstrado, conforme registramos acima), rejeitou tal equação, passando, então, a procurar uma outra versão relativista da EQ, sem lograr êxito. Essa nova versão foi obtida pelo engenheiro eletricista e físico inglês Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984; PNF, 1933), em 1928, conforme veremos a seguir.

Antes de chegar à versão relativista da EQ, Dirac trabalhou com a versão não-relativista da mesma. Com efeito, em 1925 (Proceedings of the Royal Society of London A109, p. 642), Dirac apresentou uma nova formulação da Mecânica Matricial, ao procurar uma conexão entre essa Mecânica e a Mecânica Hamiltoniana (MH). Assim, ele fez corresponder o comutador obtido por Born e Jordan ao parêntesis ("brackets") de Poisson, característico da MH, ou seja:

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onde qi e pi são as variáveis canonicamente conjugadas da MH, e x, y representam duas quaisquer variáveis do sistema atômico. Segundo Dirac afirmou em 1980 (Physics Today, Maio, p. 15), ele chegou a essa correspondência durante uma longa e habitual caminhada que deu em um certo domingo de setembro de 1925.

Ainda em 1925, os físicos holandeses George Eugene Uhlenbeck (1900-1988) e Samuel Abraham Goudsmith (1902-1978) apresentaram na Naturwissenschaften 13, p. 973 o conceito de spin (s) - uma espécie de rotação interna do elétron - que poderia assumir dois valores: ["up" (+) e "down" (-)]. Uma interpretação quanto-mecânica-Schrödingeriana desse número quântico eletrônico foi dada, em 1927, em trabalhos independentes de Pauli (Zeitschrift für Physik 43, p. 601) e do físico inglês Charles Galton Darwin (1887-1962) [neto do lendário naturalista Charles Robert Darwin (1809-1882)] (Proceedings of the Royal Society of London A115, p. 1). Para Pauli, , onde são as famosas matrizes (2 x 2) de Pauli. Contudo, esse tratamento quântico de Pauli-Darwin permanecia ainda não-relativista e com o spin introduzido ad hoc.

Finalmente, em 1928 (Proceedings of the Royal Society of London A115; A118, pgs. 610; 351), Dirac apresentou a equação relativista do elétron - a hoje famosa equação de Dirac - na qual o spin do elétron aparece naturalmente. Sua expressão em notação atual é dada por:

,

onde é a matriz (4x4) de Dirac, () e Y é o spinor (1x4) de Dirac.

A Mecânica Quântica desenvolvida por Dirac foi apresentada por ele no livro intitulado B>The Principles of Quantum Mechanics, publicado pela Oxford University Press, 1930. Nesse livro, ele apresenta a hoje famosa função delta de Dirac (d), muito usada em Física para representar quantidades discretas por intermédio de uma função contínua. Aliás, é oportuno dizer que uma função desse tipo já havia sido sugerida pelo físico alemão Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), em 1882, pelo físico e engenheiro eletricista inglês Oliver Heaviside (1850-1925), em 1893, e Paul Hertz (1881-1940), em 1916.

Na conclusão deste verbete sobre a versão relativista da ES, destacarei três fatos curiosos e interessantes. O primeiro refere-se a grande frustração sentida pelo físico russo Lev Davidovich Landau (1908-1968; PNF, 1962) - que se tornou famoso por suas grandes contribuições ao entendimento da supercondutividade e da superfluidez - por "haver nascido tarde" e, por isso, não haver contribuído ao desenvolvimento da Mecânica Quântica, conforme ele sempre dizia aos seus alunos e amigos. O segundo fato relaciona-se com a pesquisa de Schrödinger sobre a aplicação da equação de Dirac ao elétron livre. Nessa pesquisa, publicada em 1930 (Sitzungberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, p. 418, ele descobriu que o elétron apresentava um movimento de freqüência rápida (Zitterbewegung - "Tremedeira"), cuja amplitude []era da ordem de 10-11cm, resultante da interferência dos estados de energia positiva e negativa do próprio elétron. Além disso, o momento angular associado a essa "tremedeira", indicava que o elétron poderia ser imaginado se mover através do espaço livre descrevendo uma espiral fina e estreita, segundo nos conta Moore, no livro referido acima. Por fim, o terceiro fato a destacar está ligado à degenerescência, isto é, os mesmos valores dos estados de energia do elétron no átomo de hidrogênio com os mesmos números quânticos principal (n) e momento angular total (, onde é o momento angular orbital e s é o momento angular intrínseco do elétron - spin) calculados pela equação de Dirac. Observe-se que a solução dessa degenerescência, ocorrida nas décadas de 1930 e 1940, levou à formulação da Eletrodinâmica Quântica Renormalizável, desenvolvida nos trabalhos dos físicos, o japonês Sin-Itiro Tomonaga (1906-1979; PNF, 1965), e os norte-americanos Richard Phillips Feynman (1918-1988; PNF, 1965) e Julian Seymour Schwinger (1918-1994; PNF, 1965), entre 1943 e 1949. [Maiores detalhes sobre aquela degenerescência e sua solução, ver: José Maria Filardo Bassalo, Eletrodinâmica Quântica, Editora Livraria da Física (SP), 2006.]