SEARA DA CIÊNCIA


Mecânica MECÂNICA

Rolando Papel Higiênico

Objetivo

Ilustrar o efeito da rotação de um corpo sobre o seu tempo de queda.


Descrição

Deixe cair dois rolos de papel higiênico, um livremente e outro seguro por uma ponta. É claro que o rolo livre chega ao solo primeiro porque a aceleração do rolo preso é menor. O objetivo da experiência é predizer as alturas iniciais que os rolos devem ter para que atinjam o solo simultaneamente. No processo, você terá de usar conceitos de aceleração e momento de inércia.


Análise

Você sabe que qualquer objeto que cai livremente de uma altura h leva um tempo t1 = (2h/g)1/2 para atingir o solo. Estamos despresando o atrito do ar. Esse será o tempo gasto pelo rolo que cai livremente com a aceleração da gravidade g.
O rolo que tem a ponta presa cai com aceleração a menor que g pois sofre uma força para cima, além do peso. O tempo de queda desse rolo será t2 = (2h/a)1/2. Como a < g, temos t2 > t1.
Queremos achar duas alturas de queda diferentes que façam t2 = t1, isto é, alturas tais que os rolos chegam ao solo ao mesmo tempo. Igualando os tempos achamos h2/h1 = a/g. Portanto, sabendo o valor de a podemos achar a relação entre as duas alturas iniciais de queda.
Para achar a usamos conhecimentos de dinâmica da rotação. A aceleração angular do rolo na queda é A = T/I, onde T é o torque e I é o momento de inércia do rolo em relação a um eixo vertical que passa pelo ponto de apoio (a mão de quem segura a ponta).
O rolo tem massa M, raio r2 e um furo central com raio r1. Você deve demonstrar que o momento de inércia desse rolo é I = M ( 3 r22 - r12) / 2 e que o torque é T = M g r2.
Se você não sabe fazer essa demonstração é melhor procurar outro projeto para sua exposição na Feira.
A aceleração a do rolo é dada por a = A r2, onde A é a aceleração angular já calculada. As fórmulas acima combinadas dão a expressão da aceleração de queda do rolo que será: a = 2 g r22 / ( 3 r 22 + r12 ).
Portanto, com esse valor de a você acha a razão h2 / h1, que diz de que alturas você deve soltar os rolos para cheguem ao solo ao mesmo tempo.


Material usado

Vários rolos de papel higiênico.
Uma trena de costureira de 2 metros (a trena, não a costureira).


Dicas

Eis um projeto que mistura um equipamento simples, prosaico e até cômico, com uma física relativamente sofisticada. Você deve salientar esse aspecto em sua apresentação.