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Newton e os Satélites

Satélites naturais e artificiais explicados por Sir Isaac.

Se você encontra um artigo ou livro de Física secundária falando em força centrífuga as chances são quase 100% de ser besteira. Em uma revista de divulgação de ciência, cujo nome preferimos omitir, encontramos a seguinte explicação para o fato da Lua não cair sobre a Terra, apesar de ser atraída pela força gravitacional:
“Isso se deve ao fato de que, apesar da atração gravitacional, a força centrífuga tende constantemente a empurrar a Lua para fora. Nesse caso, as duas forças estão equilibradas e o resultado é que a distância entre a Lua e a Terra se mantém constante.”

Completamente errado!

Existe uma força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre a Lua. Isso nós sabemos. Mas, a tal força centrífuga, que seria uma repulsão, quem exerceria? Na verdade, ninguém exerce a força centrífuga simplesmente porque ela não existe.

A primeira Lei de Newton diz: se a força total sobre um corpo for nula, esse corpo só pode estar parado ou se movendo com velocidade constante em linha reta.

Se a tal força centrífuga equilibrasse a força gravitacional, a força total sobre a Lua seria nula e ela estaria viajando em linha reta. Adeus, Lua. Felizmente, isso não acontece, como sabemos.
Mas, pergunta você, se há uma força atraindo a Lua para a Terra e nenhuma outra para compensar, por que ela não cai sobre a gente?

A verdade é que ela cai. Para explicar o que está acontecendo ninguém melhor que o próprio Sir Isaac Newton. Leia a seguir um trecho de seu artigo Um Tratado sobre o Sistema do Mundo, publicado em 1728, onde ele explica como a força gravitacional mantém os satélites em suas órbitas. A linguagem foi adaptada por nós mas o argumento, brilhante e cristalino, é do grande mestre inglês.

“Para explicar como os satélites se mantêm em suas órbitas consideremos o movimento de um corpo lançado inicialmente com uma trajetória horizontal. Por causa de seu peso, o corpo sai de sua trajetória reta, descreve uma curva e cai sobre o solo. Quanto maior a velocidade com que é lançado, mais longe ele alcança antes de cair sobre a Terra. Veja a figura que representa a Terra e as linhas curvas que o corpo percorreria se projetado em uma direção horizontal do topo de uma alta montanha, com velocidades cada vez maiores. Suponha que não há resistência do ar. Aumentando cada vez mais a velocidade inicial do corpo ele cairá cada vez mais longe até que, quando a velocidade inicial for suficientemente grande, acabará percorrendo toda a circunferência da Terra, voltando à montanha de onde foi lançado.

Agora, se o corpo for projetado em direções paralelas ao horizonte, de grandes alturas, dependendo de sua velocidade inicial e da força da gravidade na altura em que está, ele descreverá círculos concêntricos ou elipses e permanecerá girando nessas órbitas celestes do mesmo modo que a Lua gira em torno da Terra e os planetas giram em torno do Sol.”
Essa explicação, com figura e tudo, é uma jóia de clareza e simplicidade. Ela inclui a idéia de que a mesma força que faz cair uma pedra (ou uma maçã!) também mantém o movimento de um satélite em torno da Terra. E devemos mencionar que, por esse trecho, Newton foi o primeiro a ter a idéia de um satélite artificial.

Deve ter ficado claro que a tal força centrífuga, apontando contra a atração gravitacional, não existe e nem é necessária para explicar o movimento da Lua em torno da Terra ou da Terra em torno do Sol.

Outro engano de alguns livros-texto.

Alguns livros de Física (de texto ou de divulgação) usam a figura do livro de Newton mas querem modificá-la e acabam mostrando figuras completamente erradas.

Veja essa ao lado, por exemplo. Na trajetória T1 o projétil percorre mais da metade da distância em torno da Terra e termina caindo ao solo no ponto A.

Isso é impossível.

A trajetória deve ser uma elipse, ou uma circunferência, e o centro da Terra deve ser um dos focos da elipse, ou o centro da circunferência. Uma trajetória saindo de P e passando por A teria, necessariamente, de atingir a Terra no ponto B, simetricamente colocado do outro lado. Logo, não chegaria até A.

Já a trajetória T2 não é correta pois não tem o centro da Terra como centro ou como foco da elipse.

Temos outra surpresinha. Você está na Lua, onde não há atmosfera, e lança uma pedra com certa velocidade inicial na horizontal. A pedra percorre uma trajetória curva e cai sobre o solo.
Que curva a pedra percorreu?

Todo mundo, todo livro de Física, todo professor diria: percorreu uma parábola.

Errado! A pedra descreve uma elipse (com o centro da Lua como um dos focos) ou uma circunferência, com o centro no centro da Lua.

De onde vem então essa história de parábola que a gente vê nos melhores livros?

Vem de uma aproximação na qual o solo seria um plano infinito e, portanto, a aceleração da gravidade seria constante e independente da posição. É uma ótima aproximação no caso da Terra ou mesmo da Lua, mas não seria válida se a pedra fosse lançada no asteróide do Pequeno Príncipe, por exemplo.

Essa é uma boa pegadinha para seus colegas de classe. Aproveite. Mas, não esqueça de dizer depois que aprendeu na página da Seara da Ciência.

Os satélites geo-estacionários.

Os satélites de comunicação (com sinais de TV ou telefone) costumam ser polares ou equatoriais. Se a velocidade de rotação de um satélite equatorial for igual à velocidade de rotação da própria Terra, o satélite mantém-se sempre acima do mesmo ponto sobre o equador. Um habitante dessa posição na Terra pode ver o satélite parado acima de sua cabeça, se tiver boa vista ou um bom binóculo.

Esse tipo de satélite é chamado de geo-estacionário, isto é, parado em relação à Terra (geo).

Para que um satélite tenha a mesma velocidade de rotação da Terra (1 volta em 24 horas), sua órbita circular não pode ter qualquer raio. O raio é determinado pela força de atração gravitacional que deve ser exatamente aquela necessária para manter o satélite com a velocidade angular da Terra. Isto é:

Logo, ,

onde r = raio da órbita que queremos calcular, G = constante gravitacional = 6,67 x 10-11 N m²/kg², M = massa da Terra = 5,98 x  1024 kg e w = velocidade de rotação da Terra = 7,27 x 10-5 rd/seg = 1 volta / 24 horas.

Fazendo as contas, você pode achar r = 42.270 km. Descontando o raio da Terra (6.370 km) vemos que um satélite geo-estacionário fica “parado” a 35.900 km acima de algum ponto do equador.

Observe que um satélite geo-estacionário tem de ser equatorial. É impossível, por exemplo, colocar um satélite estacionário em cima da cidade de São Paulo. Mas, como a altura do satélite é grande (quase 36.000 km), a área possível de ser alcançada por um sinal vindo do satélite pode cobrir praticamente todo o Brasil. Faça esse cálculo: suponha o satélite sobre o equador, com a mesma longitude de Brasília e ache até que latitude é possível atingir com um sinal a partir dele, no hemisfério Sul. Será que dá para atingir Porto Alegre?