George Cantor e os transfinitos
Qual é o tamanho do infinito?
Um infinito pode ser maior que outro?
Essas perguntas, que parecem saídas da boca de uma criança, são indagações matemáticas perfeitamente legítimas. E, o que é melhor, já têm respostas.
Quem primeiro teve a idéia de fazer essas perguntas e conseguiu respondê-las de forma precisa foi o matemático russo/alemão Georg Cantor (1845 – 1918).
Antes dele, os matemáticos queimaram as pestanas para entender os números “infinitamente pequenos”, ou “infinitesimais”, na tentativa de dar bases sólidas ao cálculo diferencial e integral. Um dos matemáticos que mais contribuíram para esse entendimento dos “infinitesimais” foi Karl Weirstrass, professor de Cantor na Alemanha.Enquanto isso, ninguém se preocupava com a outra ponta, onde moram os números infinitamente grandes. Nas escolas costuma-se dizer que 5 / 0 = 
, por exemplo. Mas, esse não é bem um infinito. É apenas uma confissão de que não existe nenhum número que multiplicado por 0 dê 5.
Como veremos nos próximos capítulos, Georg Cantor bolou um processo simples mas rigoroso de “contar” o número de elementos de uma coleção infinita. Como conseqüência, mostrou que os chamados “números transfinitos”, usados para medir o tamanho de um conjunto com infinitos elementos, têm uma hierarquia de tamanho, uns sendo maiores que outros.
Números naturais, racionais, irracionais e reais.
Para facilitar nosso relato, vamos falar apenas de números positivos. Começamos com os NÚMEROS NATURAIS: 0, 1, 2, 3, 4, … Esses números se agrupam em um CONJUNTO que é, claramente, um conjunto infinito, isto é, tem um número ilimitado de elementos. Podemos chamá-lo de N.
Os números naturais são ótimos para contar coisas. Por exemplo, se queremos contar os dedos de uma mão, associamos o número 1 ao dedo mindinho, o 2 ao seu vizinho, o 3 ao maior de todos, o 4 ao fura-bolos e o 5 ao cata-piolhos. Resultado: uma mão tem 5 dedos. Esse processo simples de contar os elementos de um conjunto foi usado por Cantor para medir o “tamanho” de um conjunto infinito, como veremos adiante.
Temos, também, os NÚMEROS RACIONAIS, obtidos pela divisão (ou “razão”, daí o nome) entre dois números naturais inteiros. Exemplos: 1/2, 3/3, 7/18, etc. Como vemos, os números inteiros naturais estão incluídos no conjunto dos números racionais. Por exemplo, 6 / 2 é racional (pois é a razão entre 6 e 2) mas, também é o inteiro 3.
Acontece que existem números que não podem ser escritos como a divisão de dois inteiros. Isto é, não são racionais. Esses números são chamados de NÚMEROS IRRACIONAIS. O exemplo clássico de número irracional é 
= 1,414213562… Desde os tempos longínquos de Pitágoras, sabe-se que não pode ser escrito como a divisão de dois inteiros. Essa descoberta desencadeou uma enorme crise na comunidade pitagórica, que achava que todo número ou é inteiro ou é racional. Depois contaremos essa história dos pitagóricos. Outros irracionais famosos são 
= 3,1415926 …, o número e = 2,71828… e o número 
= 1,618034… Todos eles acabam em três pontinhos para indicar que têm um número ilimitado de algarismos depois da vírgula.
Juntando os números racionais com os irracionais obtemos o conjuntos dos NÚMEROS REAIS. Já dá para desconfiar que existem mais números reais que números naturais, pois todo número natural é real mas nem todo número real é natural. Mas, cuidado! Como veremos no capítulo seguinte, comparar conjuntos infinitos é tarefa escorregadia que pode levar a resultados inconsistentes. Por exemplo, todo número natural (inteiro) é um número racional, mas, nem todo número racional é natural. Será que existem mais números racionais que naturais? Qual é seu palpite? A seguir, veremos como Cantor atacou essa questão.
Como contar os números naturais.
Para começar, vamos voltar ao conjunto dos NÚMEROS INTEIROS NATURAIS N: {0, 1, 2, 3, 4, …}
Agora, considere o conjunto dos NÚMEROS INTEIROS PARES P: {0, 2, 4, 6, …}
É claro que ambos são infinitos. Também é claro que todo elemento de P, isto é todo número par, está contido no conjunto N. Mas, nem todo elemento de N faz parte do conjunto P.
Sabendo disso, será que o número de elementos de N é maior que o número de elementos de P?
Para responder essa questão, Cantor propôs um critério bastantes simples e intuitivo. Segundo esse critério, dois conjuntos são equivalentes, isto é, têm o mesmo número de elementos, se houver um modo de associar cada elemento de um conjunto com um, e só um, elemento do outro conjunto. Para tornar a coisa um pouco mais técnica, diremos que, se isso se dá, os dois conjuntos têm a mesma CARDINALIDADE.
No caso dos conjuntos N (naturais) e P (pares) é bem fácil fazer essa associação, como mostramos abaixo:
Em um conjunto infinito, o todo pode ser igual a uma de suas partes.
É bem interessante ( e paradoxal) que podemos “diluir” infinitamente um conjunto infinito e ele continua sempre do mesmo tamanho, isto é, com a mesma cardinalidade. Por exemplo, em vez de tomarmos apenas os pares, dobrando o valor de cada elemento de N, como fizemos para obter P, podemos tomar o quadrado de cada elemento (n2) ou o cubo (n3), ou qualquer outra potência. De qualquer forma, o conjunto obtido terá sempre a mesma cardinalidade de N. Veja, por exemplo, o caso dos cubos:
Esses conjuntos que têm a mesma cardinalidade do conjuntos dos números naturais, N, são chamados de “contáveis”. Cantor escolheu um símbolo para a cardinalidade desses conjuntos contáveis: 
. Essa é a primeira letra do alfabeto hebreu e chama-se alef. Com o índice 0, ele é chamado de alef zero, símbolo da cardinalidade dos conjuntos contáveis. Esse índice já prenuncia a possibilidade de haver conjuntos com cardinalidade maior que , como veremos adiante.
Antes, porém, observe algumas regras da aritmética do , demonstradas por Cantor:
+ n = + = x n = n x =
n =
Em todas essas expressões, n é um número inteiro qualquer, positivo ou negativo.
Algum curioso há de perguntar: e quanto vale ()?
Isso veremos a seguir.
A cardinalidade dos números reais.
Recordando: todo conjunto cujos elementos podem ser colocados em correspondência um-a-um com os números inteiros (naturais) é dito contável e tem a mesma cardinalidade do conjuntos dos números naturais, isto é, .A seguir, Cantor mostrou que o conjunto dos números racionais também é contável, com cardinalidade . Para mostrar isso, Cantor organizou os racionais na forma de uma tabela. Cada linha tem frações com o mesmo numerador, começando de 1 e seguindo a ordem crescente, e cada coluna tem frações com o mesmo denominador, na mesma ordem. É fácil constatar que essa tabela contém todos os números racionais.
e , que não podem ser escritos como uma fração entre dois inteiros. Esses são os números irracionais.
O conjunto de todos os números, racionais e irracionais, forma o conjunto dos NÚMEROS REAIS. Pois bem, Cantor conseguiu mostrar que o conjunto dos números reais não é contável, isto é, tem cardinalidade maior que . Em outras palavras, não é possível fazer uma correspondência um-a-um entre todos os inteiros e todos os reais pois sempre sobrarão números reais não contados.
Para mostrar isso, Cantor nem usou todos os números reais. Basta considerar os números reais que existem entre 0 e 1, o segmento unitário. Qualquer número entre 0 e 1 pode ser escrito como um decimal com um número infinito de algarismos depois da vírgula. Exemplos: 0,33333 … , 0,707 … , 0,785398 … etc. É claro que existem números reais com um número finito de algarismos depois da vírgula. Por exemplo: 2/4 = 0,5. Ou, 3/8 = 0,375. Então, para esses, colocaremos uma infinidade de zeros após o último algarismo. Isto é, fazemos 2/4 = 0,50000 … e 3/8 = 0,3750000 …
Agora, suponha que você faz uma lista de números reais diferentes, associando cada um deles a um número inteiro. Isto é, você faz uma lista como essa, vista abaixo, por exemplo:
Basta considerar um certo número real X formado da seguinte maneira: escrevemos o 0 e a vírgula e o primeiro algarismo após a vírgula deve ser diferente de 2, que é o primeiro algarismo depois da vírgula no real associado ao inteiro 1. O segundo algarismo depois da vírgula, nesse real X, deve ser diferente de 1, que é o segundo algarismo depois da vírgula no real associado ao inteiro 2. E, assim por diante. Por exemplo, o real obtido poderia ser: 0,39758 ….
Esse real X, portanto, não foi contado na lista de correspondências com os inteiros pois o algarismo em uma posição qualquer n depois da vírgula sempre difere do algarismo na mesma posição da lista acima. É claro que podemos obter um número infinito de números reais, usando esse processo, que não estão contidos na lista de associação com os inteiros. Portanto, a cardinalidade do conjunto dos números reais é maior que . Entretanto, Cantor não quiz dizer que a cardinalidade dos reais é 
, pois não tinha certeza se poderia haver algum conjunto com cardinalidade intermediária entre a cardinalidade dos naturais e a cardinalidade dos reais. Chamou, então, a cardinalidade dos reais de C, significando “contínuo”.
A demonstração foi feita com os reais no intervalo entre 0 e 1, mas, não há nenhuma diferença se tomarmos o intervalo de – a +. Isso fica evidente na figura ao lado, onde vemos que existe uma correspondência um-a-um entre os pontos do semi-círculo que representa o intervalo (0, 1) e a reta infinita.
A aritmética do cardinal C é parecida com a de . Temos:
= C = x C = CC x C = C
C = C.
Além disso, Cantor conseguiu mostrar que = C. Isto significa que, elevando o número transfinito a uma potência , obtemos um número transfinito ainda maior, que é C. Por sua vez, CC dá, como resultado, um transfinito maior que C. Esse novo transfinito é a cardinalidade do conjunto de todas as curvas possíveis de serem desenhadas em um plano. Há quem chame esse novo cardinal de 
, mas, ninguém conseguiu mostrar isso até agora.O mesmo surpreendente resultado que vimos para o conjunto N dos números naturais, isto é, que pode ser “diluído” em outros conjuntos que têm a mesma cardinalidade, também acontece com o conjunto do contínuo, C. Por exemplo, foi mostrado que o conjuntos dos números irracionais tem a mesma cardinalidade que os reais, C, mesmo quando sabemos que os irracionais são apenas parte dos reais.
A busca de conjuntos com cardinalidade maior que C levou Cantor a obter resultados ainda mais intrigantes, como veremos no próximo capítulo.
O contínuo e os conjuntos de sub-conjuntos.
O conjunto dos números naturais fornece uma medida para outros conjuntos com cardinalidade . Por sua vez, o conjunto dos números reais, chamada de “contínuo”, fornece uma medida para conjuntos com cardinalidade C.
Na verdade, Cantor mostrou não apenas isso, mas, concluiu que a cardinalidade dos pontos em qualquer área (espaço bidimensional) ou em qualquer volume (espaço tridimensional) é C! Portanto, o número de pontos em um modesto segmento de reta com 1 milímetro de comprimento é o mesmo que o número de pontos em todo o volume do universo!Se um conjunto com todos os pontos do universo tem cardinalidade C, como foi provado por Cantor, era de se esperar que nenhum conjunto tivesse cardinalidade maior que C. Que nada! No fim do século 19, Cantor conseguiu mostrar que existem conjuntos com cardinalidade maior que Ce, o que é mais, o número desse conjuntos é infinito! Esse resultado é conhecido como “Teorema de Cantor”, indicando que, certamente, foi seu resultado mais importante.
Não vamos entrar em detalhes sobre esse teorema, nesse nosso relato introdutório. Basta dar algumas informações gerais. Cantor examinou o conjunto de TODOS OS SUB-CONJUNTOS de um conjunto qualquer e chamou esse conjunto de potência do conjunto. Vejamos um exemplo. Seja o conjunto formado pelas cinco vogais, {a, e, i, o, u}. É um conjunto de 5 elementos e com eles podemos formar 32 sub-conjuntos. Exemplos desses sub-conjuntos são {a}, {e, u}, {a, o, u}, etc. Lembre que devemos contar como sub-conjuntos o sub-conjunto vazio { } e o próprio conjunto {a, e, i, o, u}. Vemos, portanto, que o número de elementos do conjunto potência do conjunto das 5 vogais (isto é, 32) é maior que o número de elementos do conjunto original (5).
O teorema de Cantor afirma que isso também é verdade para qualquer conjunto infinito. Isto é, dado qualquer conjunto com um número infinito de elementos, é sempre possível tomar o conjunto potência desse conjunto (formado por todos seus sub-conjuntos) e a cardinalidade do conjunto potência é sempre maior que a cardinalidade do conjunto original. A partir desse impressionante resultado, não há como limitar cardinalidades.
Considerando, por exemplo, o conjunto dos reais, com cardinalidade C, podemos considerar o conjunto potência desse conjunto e obteremos outro conjunto P com cardinalidade maior que C. E, ninguém precisa parar por aí. Tomamos o conjunto potência do próprio conjunto potência P e obtemos outro conjunto com cardinalidade ainda maior. E, por aí vai.
Resultados como esse assustaram parte da comunidade dos matemáticos do século 19. O próprio Cantor chegou a dizer a seu amigo Dedekind: “Vejo isso, mas, não acredito”. Era de se esperar que a aceitação dos artigos de Cantor fosse, frequentemente, um processo complicado. No próximo capítulo, falaremos sobre essas dificuldades de Cantor.
Na busca de conjuntos com cardinalidade maior que C, Cantor desconfiava que deveria ser impossível estabelecer uma correspondência um-a-um entre os pontos de um segmento de reta e os pontos contidos em uma área. A intuição de Cantor levava-o a crer que o número de pontos na área deveria ser maior que o número de pontos no segmento de reta. Mas, apesar de muitas tentativas para provar isso, nunca conseguiu.Só que, algum tempo depois de iniciar uma discussão com seu amigo Dedekind sobre essa questão, Cantor concluiu que, na verdade, os dois números são iguais. Isto é, o número de pontos no segmento de reta é o mesmo que na área! Existe uma correspondência um-a-um entre os pontos da reta e os pontos da área. Logo, a cardinalidade dos pontos da área é C.
A vida atribulada de Georg Cantor
Hoje considerado um dos maiores matemáticos que já existiram, Georg Cantor teve de enfrentar a rejeição de alguns colegas ao seu trabalho desbravador sobre a teoria dos conjuntos.Ele nasceu na Rússia, de pais dinamarqueses, a 3 de março de 1845, mas, desde os 10 anos de idade morou na Alemanha. Seu pai, como de resto todo pai de filho talentoso, queria que ele seguisse a carreira de engenheiro. O jovem Georg, porém, fincou pé, e formou-se em matemática, após seu pai resignar-se com a decisão do filho. É sempre assim. Se Cantor tivesse sido engenheiro, provavelmente ninguém hoje ouviria seu nome.
Em Berlim, Cantor teve como mestre o grande Karl Weierstrass, famoso por ter dado sólidas fundações à análise infinitesimal. Depois de formado, Cantor passou a lecionar e pesquisar na pequena Universidade de Halle, onde permaneceu até o fim da vida.
Seu interesse pelos conjuntos e pelos números transfinitos começou em 1870 e pouco depois ele já demonstrou que o conjunto dos números racionais é contável. Prosseguindo, ano após ano, na investigação dos conjuntos infinitos e nos problemas de continuidade, Cantor foi obtendo resultados cada vez mais surpreendentes, nem sempre bem recebidos pela totalidade dos matemáticos. Por exemplo, todos ficaram intrigados quando Cantor demonstrou que os números transcendentais, isto é, aqueles que não são soluções de equações algébricas, não apenas formam um conjunto infinito, mas, são até mais numerosos que os naturais.
Entre os entusiastas de seu trabalho, contava com o apoio de Julius Richard Dedekind, com quem manteve contacto ou correspondência durante toda a vida. Entre seus críticos, o mais ácido era Leopold Kronecker. Quando, perto do fim da vida, Cantor começou a sofrer das faculdades mentais, houve quem responsabilizasse Kronecker por esses problemas de Cantor. Entretanto, hoje se sabe que esses distúrbios não têm origem em situações de stress. Além disso, durante esse período crítico, Cantor chegou a um acordo com Kronecker que passou, se não a aceitar, pelo menos a não criticar seu trabalho.
Cantor tinha várias manias, talvez algumas delas geradas por sua condição psíquica. Uma delas era dizer que Shakespeare não tinha escrito as peças que dizem ser de sua autoria. Cantor achava que essas peças tinham sido escritas por Francis Bacon. Isso lembra um dito de Mark Twain: “Eu concordo que a peças de Shakespeare não foram escritas por ele. Devem ter sido escritas por outro cara com o mesmo nome”.
Talvez até por ter tido de enfrentar tanta dificuldade em sua vida profissional, Cantor, depois de alcançar justa fama, sempre procurou ajudar e incentivar jovens matemáticos de talento.
Em 1899, com a morte de seu filho caçula ( o sexto), as crises depressivas do grande matemático começaram a se intensificar e ele teve de ser confinado seguidamente em hospitais psiquiátricos. Morreu do coração em um desses hospitais, em Janeiro de 1918.
